Calcolo Esempi

$\int_{1}^{2} \frac{6 x - 1}{3 x^{2} - x} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 3 x^{2} - x$ . Allora $d u = (6 x - 1) d x$ , quindi $\frac{1}{6 x - 1} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 3 x^{2} - x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $3 x^{2} - x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} - x]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Passaggio 1.1.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x - \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 x - 1 \cdot 1$

Passaggio 1.1.4.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$6 x - 1$

Passaggio 1.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = 3 x^{2} - x$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$u_{lower} = 3 \cdot 1 - 1 \cdot 1$

Passaggio 1.3.1.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$u_{lower} = 3 - 1 \cdot 1$

Passaggio 1.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$u_{lower} = 3 - 1$

Passaggio 1.3.2

Sottrai $1$ da $3$ .

$u_{lower} = 2$

Passaggio 1.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = 3 x^{2} - x$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.5.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 4 - 1 \cdot 2$

Passaggio 1.5.1.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$u_{upper} = 12 - 1 \cdot 2$

Passaggio 1.5.1.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$u_{upper} = 12 - 2$

Passaggio 1.5.2

Sottrai $2$ da $12$ .

$u_{upper} = 10$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 10$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{2}^{10} \frac{1}{u} d u$

Passaggio 2

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{2}^{10}$

Passaggio 3

Calcola $\ln (| u |)$ per $10$ e per $2$ .

$\ln (| 10 |) - \ln (| 2 |)$

Passaggio 4

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 10 |}{| 2 |})$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $10$ è $10$ .

$\ln (\frac{10}{| 2 |})$

Passaggio 5.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$\ln (\frac{10}{2})$

Passaggio 5.3

Dividi $10$ per $2$ .

$\ln (5)$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\ln (5)$

Forma decimale:

$1.60943791 \dots$

Passaggio 7