Calcolo Esempi

$\int_{1}^{3} {(2 x - 1)}^{4} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 2 x - 1$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u = 2 x - 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 + 0$

Passaggio 1.1.4.2

Somma $2$ e $0$ .

$2$

Passaggio 1.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = 2 x - 1$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 1 - 1$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$u_{lower} = 2 - 1$

Passaggio 1.3.2

Sottrai $1$ da $2$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 1.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = 2 x - 1$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 3 - 1$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$u_{upper} = 6 - 1$

Passaggio 1.5.2

Sottrai $1$ da $6$ .

$u_{upper} = 5$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 5$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{1}^{5} u^{4} \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2

$u^{4}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{5} \frac{u^{4}}{2} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{5} u^{4} d u$

Passaggio 4

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{4}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{5}$

Passaggio 5

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Calcola $\frac{1}{5} u^{5}$ per $5$ e per $1$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{5} \cdot 5^{5}) - \frac{1}{5} \cdot 1^{5})$

Passaggio 5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Eleva $5$ alla potenza di $5$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} \cdot 3125 - \frac{1}{5} \cdot 1^{5})$

Passaggio 5.2.2

$\frac{1}{5}$ e $3125$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3125}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1^{5})$

Passaggio 5.2.3

Elimina il fattore comune di $3125$ e $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Scomponi $5$ da $3125$ .

$\frac{1}{2} (\frac{5 \cdot 625}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1^{5})$

Passaggio 5.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.2.1

Scomponi $5$ da $5$ .

$\frac{1}{2} (\frac{5 \cdot 625}{5 (1)} - \frac{1}{5} \cdot 1^{5})$

Passaggio 5.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} (\frac{5 \cdot 625}{5 \cdot 1} - \frac{1}{5} \cdot 1^{5})$

Passaggio 5.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} (\frac{625}{1} - \frac{1}{5} \cdot 1^{5})$

Passaggio 5.2.3.2.4

Dividi $625$ per $1$ .

$\frac{1}{2} (625 - \frac{1}{5} \cdot 1^{5})$

Passaggio 5.2.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{2} (625 - \frac{1}{5} \cdot 1)$

Passaggio 5.2.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{2} (625 - \frac{1}{5})$

Passaggio 5.2.6

Per scrivere $625$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{2} (625 \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5})$

Passaggio 5.2.7

$625$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{625 \cdot 5}{5} - \frac{1}{5})$

Passaggio 5.2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{625 \cdot 5 - 1}{5}$

Passaggio 5.2.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.9.1

Moltiplica $625$ per $5$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3125 - 1}{5}$

Passaggio 5.2.9.2

Sottrai $1$ da $3125$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3124}{5}$

Passaggio 5.2.10

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{3124}{5}$ .

$\frac{3124}{2 \cdot 5}$

Passaggio 5.2.11

Moltiplica $2$ per $5$ .

$\frac{3124}{10}$

Passaggio 5.2.12

Elimina il fattore comune di $3124$ e $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.12.1

Scomponi $2$ da $3124$ .

$\frac{2 (1562)}{10}$

Passaggio 5.2.12.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.12.2.1

Scomponi $2$ da $10$ .

$\frac{2 \cdot 1562}{2 \cdot 5}$

Passaggio 5.2.12.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 1562}{2 \cdot 5}$

Passaggio 5.2.12.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1562}{5}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{1562}{5}$

Forma decimale:

$312.4$

Forma numero misto:

$312 \frac{2}{5}$

Passaggio 7