Calcolo Esempi

$\int \frac{y}{y^{2} + 1} d y$

Passaggio 1

Sia $u = y^{2} + 1$ . Allora $d u = 2 y d y$ , quindi $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = y^{2} + 1$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $y^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} + 1]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y^{2} + 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 y + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 1.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$2 y + 0$

Passaggio 1.1.5

Somma $2 y$ e $0$ .

$2 y$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Passaggio 2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 4

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Passaggio 5

Semplifica.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Passaggio 6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C$