Calcolo Esempi

$\int_{1}^{3} 9 r^{3} \ln (r) d r$

Passaggio 1

Poiché $9$ è costante rispetto a $r$ , sposta $9$ fuori dall'integrale.

$9 \int_{1}^{3} r^{3} \ln (r) d r$

Passaggio 2

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \ln (r)$ e $d v = r^{3}$ .

$9 (\ln (r) (\frac{1}{4} r^{4})]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{4} r^{4} \frac{1}{r} d r)$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

$\frac{1}{4}$ e $r^{4}$ .

$9 (\ln (r) \frac{r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{4} r^{4} \frac{1}{r} d r)$

Passaggio 3.2

$\ln (r)$ e $\frac{r^{4}}{4}$ .

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{4} r^{4} \frac{1}{r} d r)$

Passaggio 3.3

$\frac{1}{4}$ e $r^{4}$ .

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{r^{4}}{4} \cdot \frac{1}{r} d r)$

Passaggio 3.4

Moltiplica $\frac{r^{4}}{4}$ per $\frac{1}{r}$ .

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{r^{4}}{4 r} d r)$

Passaggio 3.5

Elimina il fattore comune di $r^{4}$ e $r$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Scomponi $r$ da $r^{4}$ .

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{r \cdot r^{3}}{4 r} d r)$

Passaggio 3.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Scomponi $r$ da $4 r$ .

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{r \cdot r^{3}}{r \cdot 4} d r)$

Passaggio 3.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{r \cdot r^{3}}{r \cdot 4} d r)$

Passaggio 3.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{r^{3}}{4} d r)$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $r$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - (\frac{1}{4} \int_{1}^{3} r^{3} d r))$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $r^{3}$ rispetto a $r$ è $\frac{1}{4} r^{4}$ .

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \frac{1}{4} \frac{1}{4} r^{4}]_{1}^{3})$

Passaggio 6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

$\frac{1}{4}$ e $r^{4}$ .

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \frac{1}{4} \frac{r^{4}}{4}]_{1}^{3})$

Passaggio 6.1.2

$\frac{r^{4}}{4}]_{1}^{3}$ e $\frac{1}{4}$ .

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \frac{\frac{r^{4}}{4}]_{1}^{3}}{4})$

Passaggio 6.2

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Calcola $\frac{\ln (r) r^{4}}{4}$ per $3$ e per $1$ .

$9 ((\frac{\ln (3) \cdot 3^{4}}{4}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{4}}{4} - \frac{\frac{r^{4}}{4}]_{1}^{3}}{4})$

Passaggio 6.2.2

Calcola $\frac{r^{4}}{4}$ per $3$ e per $1$ .

$9 ((\frac{\ln (3) \cdot 3^{4}}{4}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{4}}{4} - \frac{(\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}}{4})$

Passaggio 6.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Eleva $3$ alla potenza di $4$ .

$9 (\frac{\ln (3) \cdot 81}{4} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{4}}{4} - \frac{(\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}}{4})$

Passaggio 6.2.3.2

Sposta $81$ alla sinistra di $\ln (3)$ .

$9 (\frac{81 \cdot \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{4}}{4} - \frac{(\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}}{4})$

Passaggio 6.2.3.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1) \cdot 1}{4} - \frac{(\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}}{4})$

Passaggio 6.2.3.4

Moltiplica $\ln (1)$ per $1$ .

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{(\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}}{4})$

Passaggio 6.2.3.5

Eleva $3$ alla potenza di $4$ .

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{81}{4} - \frac{1^{4}}{4}}{4})$

Passaggio 6.2.3.6

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{81}{4} - \frac{1}{4}}{4})$

Passaggio 6.2.3.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{81 - 1}{4}}{4})$

Passaggio 6.2.3.8

Sottrai $1$ da $81$ .

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{80}{4}}{4})$

Passaggio 6.2.3.9

Elimina il fattore comune di $80$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.9.1

Scomponi $4$ da $80$ .

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{4 \cdot 20}{4}}{4})$

Passaggio 6.2.3.9.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.9.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{4 \cdot 20}{4 (1)}}{4})$

Passaggio 6.2.3.9.2.2

Elimina il fattore comune.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{4 \cdot 20}{4 \cdot 1}}{4})$

Passaggio 6.2.3.9.2.3

Riscrivi l'espressione.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{20}{1}}{4})$

Passaggio 6.2.3.9.2.4

Dividi $20$ per $1$ .

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{20}{4})$

Passaggio 6.2.3.10

Elimina il fattore comune di $20$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.10.1

Scomponi $4$ da $20$ .

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{4 \cdot 5}{4})$

Passaggio 6.2.3.10.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.10.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{4 \cdot 5}{4 (1)})$

Passaggio 6.2.3.10.2.2

Elimina il fattore comune.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 1})$

Passaggio 6.2.3.10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{5}{1})$

Passaggio 6.2.3.10.2.4

Dividi $5$ per $1$ .

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - 1 \cdot 5)$

Passaggio 6.2.3.11

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - 5)$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$9 (- 5 + \frac{81 \ln (3) - \ln (1)}{4})$

Passaggio 7.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$9 (- 5 + \frac{81 \ln (3) - 0}{4})$

Passaggio 7.2.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$9 (- 5 + \frac{81 \ln (3) + 0}{4})$

Passaggio 7.3

Somma $81 \ln (3)$ e $0$ .

$9 (- 5 + \frac{81 \ln (3)}{4})$

Passaggio 7.4

Applica la proprietà distributiva.

$9 \cdot - 5 + 9 \frac{81 \ln (3)}{4}$

Passaggio 7.5

Moltiplica $9$ per $- 5$ .

$- 45 + 9 \frac{81 \ln (3)}{4}$

Passaggio 7.6

Moltiplica $9 \frac{81 \ln (3)}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.1

$9$ e $\frac{81 \ln (3)}{4}$ .

$- 45 + \frac{9 (81 \ln (3))}{4}$

Passaggio 7.6.2

Moltiplica $81$ per $9$ .

$- 45 + \frac{729 \ln (3)}{4}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- 45 + \frac{729 \ln (3)}{4}$

Forma decimale:

$155.22208960 \dots$