Calcolo Esempi

$\int_{1}^{4} \frac{8 \ln^{3} (x)}{x} d x$

Passaggio 1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , sposta $8$ fuori dall'integrale.

$8 \int_{1}^{4} \frac{\ln^{3} (x)}{x} d x$

Passaggio 2

Sia $u = \ln (x)$ . Allora $d u = \frac{1}{x} d x$ , quindi $x d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sia $u = \ln (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 2.1.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Passaggio 2.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = \ln (x)$ .

$u_{lower} = \ln (1)$

Passaggio 2.3

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 2.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = \ln (x)$ .

$u_{upper} = \ln (4)$

Passaggio 2.5

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \ln (4)$

Passaggio 2.6

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$8 \int_{0}^{\ln (4)} u^{3} d u$

Passaggio 3

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{3}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$8 (\frac{1}{4} u^{4}]_{0}^{\ln (4)})$

Passaggio 4

$\frac{1}{4}$ e $u^{4}$ .

$8 (\frac{u^{4}}{4}]_{0}^{\ln (4)})$

Passaggio 5

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Calcola $\frac{u^{4}}{4}$ per $\ln (4)$ e per $0$ .

$8 ((\frac{\ln^{4} (4)}{4}) - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$8 (\frac{\ln^{4} (4)}{4} - \frac{0}{4})$

Passaggio 5.2.2

Elimina il fattore comune di $0$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Scomponi $4$ da $0$ .

$8 (\frac{\ln^{4} (4)}{4} - \frac{4 (0)}{4})$

Passaggio 5.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$8 (\frac{\ln^{4} (4)}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Passaggio 5.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$8 (\frac{\ln^{4} (4)}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Passaggio 5.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$8 (\frac{\ln^{4} (4)}{4} - \frac{0}{1})$

Passaggio 5.2.2.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$8 (\frac{\ln^{4} (4)}{4} - 0)$

Passaggio 5.2.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$8 (\frac{\ln^{4} (4)}{4} + 0)$

Passaggio 5.2.4

Somma $\frac{\ln^{4} (4)}{4}$ e $0$ .

$8 \frac{\ln^{4} (4)}{4}$

Passaggio 5.2.5

$8$ e $\frac{\ln^{4} (4)}{4}$ .

$\frac{8 \ln^{4} (4)}{4}$

Passaggio 5.2.6

Elimina il fattore comune di $8$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.1

Scomponi $4$ da $8 \ln^{4} (4)$ .

$\frac{4 (2 \ln^{4} (4))}{4}$

Passaggio 5.2.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$\frac{4 (2 \ln^{4} (4))}{4 (1)}$

Passaggio 5.2.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 (2 \ln^{4} (4))}{4 \cdot 1}$

Passaggio 5.2.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 \ln^{4} (4)}{1}$

Passaggio 5.2.6.2.4

Dividi $2 \ln^{4} (4)$ per $1$ .

$2 \ln^{4} (4)$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$2 \ln^{4} (4)$

Forma decimale:

$7.38672315 \dots$