Calcolo Esempi

$\int_{2}^{3} 8 x (x^{2} - 5) d x$

Passaggio 1

Sia $u = x^{2} - 5$ . Allora $d u = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2 x} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = x^{2} - 5$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $x^{2} - 5$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 5]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 1.1.4

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 0$

Passaggio 1.1.5

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Passaggio 1.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = x^{2} - 5$ .

$u_{lower} = 2^{2} - 5$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$u_{lower} = 4 - 5$

Passaggio 1.3.2

Sottrai $5$ da $4$ .

$u_{lower} = - 1$

Passaggio 1.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = x^{2} - 5$ .

$u_{upper} = 3^{2} - 5$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$u_{upper} = 9 - 5$

Passaggio 1.5.2

Sottrai $5$ da $9$ .

$u_{upper} = 4$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 4$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{- 1}^{4} 4 u d u$

Passaggio 2

Poiché $4$ è costante rispetto a $u$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$4 \int_{- 1}^{4} u d u$

Passaggio 3

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} u^{2}]_{- 1}^{4})$

Passaggio 4

$\frac{1}{2}$ e $u^{2}$ .

$4 (\frac{u^{2}}{2}]_{- 1}^{4})$

Passaggio 5

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 5.1

Calcola $\frac{u^{2}}{2}$ per $4$ e per $- 1$ .

$4 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$4 (\frac{16}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 5.2.2

Elimina il fattore comune di $16$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Scomponi $2$ da $16$ .

$4 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 5.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$4 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 5.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$4 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 5.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$4 (\frac{8}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 5.2.2.2.4

Dividi $8$ per $1$ .

$4 (8 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 5.2.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$4 (8 - \frac{1}{2})$

Passaggio 5.2.4

Per scrivere $8$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$4 (8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

Passaggio 5.2.5

$8$ e $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2})$

Passaggio 5.2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4 \frac{8 \cdot 2 - 1}{2}$

Passaggio 5.2.7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.2.7.1

Moltiplica $8$ per $2$ .

$4 \frac{16 - 1}{2}$

Passaggio 5.2.7.2

Sottrai $1$ da $16$ .

$4 (\frac{15}{2})$

Passaggio 5.2.8

$4$ e $\frac{15}{2}$ .

$\frac{4 \cdot 15}{2}$

Passaggio 5.2.9

Moltiplica $4$ per $15$ .

$\frac{60}{2}$

Passaggio 5.2.10

Elimina il fattore comune di $60$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.10.1

Scomponi $2$ da $60$ .

$\frac{2 \cdot 30}{2}$

Passaggio 5.2.10.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.10.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 \cdot 30}{2 (1)}$

Passaggio 5.2.10.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 30}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.2.10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{30}{1}$

Passaggio 5.2.10.2.4

Dividi $30$ per $1$ .

$30$

Passaggio 6