Calcolo Esempi

$\int_{2}^{4} {(x^{2} + 2)}^{3} x d x$

Passaggio 1

Sia $u = x^{2} + 2$ . Allora $d u = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u = x^{2} + 2$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia $x^{2} + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 0$

Passaggio 1.1.5

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Passaggio 1.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = x^{2} + 2$ .

$u_{lower} = 2^{2} + 2$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$u_{lower} = 4 + 2$

Passaggio 1.3.2

Somma $4$ e $2$ .

$u_{lower} = 6$

Passaggio 1.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = x^{2} + 2$ .

$u_{upper} = 4^{2} + 2$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$u_{upper} = 16 + 2$

Passaggio 1.5.2

Somma $16$ e $2$ .

$u_{upper} = 18$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 6$

$u_{upper} = 18$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{6}^{18} u^{3} \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2

$u^{3}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int_{6}^{18} \frac{u^{3}}{2} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int_{6}^{18} u^{3} d u$

Passaggio 4

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{3}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{4} u^{4}]_{6}^{18}$

Passaggio 5

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Calcola $\frac{1}{4} u^{4}$ per $18$ e per $6$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{4} \cdot 18^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 6^{4})$

Passaggio 5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Eleva $18$ alla potenza di $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} \cdot 104976 - \frac{1}{4} \cdot 6^{4})$

Passaggio 5.2.2

$\frac{1}{4}$ e $104976$ .

$\frac{1}{2} (\frac{104976}{4} - \frac{1}{4} \cdot 6^{4})$

Passaggio 5.2.3

Elimina il fattore comune di $104976$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Scomponi $4$ da $104976$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 26244}{4} - \frac{1}{4} \cdot 6^{4})$

Passaggio 5.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 26244}{4 (1)} - \frac{1}{4} \cdot 6^{4})$

Passaggio 5.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 26244}{4 \cdot 1} - \frac{1}{4} \cdot 6^{4})$

Passaggio 5.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} (\frac{26244}{1} - \frac{1}{4} \cdot 6^{4})$

Passaggio 5.2.3.2.4

Dividi $26244$ per $1$ .

$\frac{1}{2} (26244 - \frac{1}{4} \cdot 6^{4})$

Passaggio 5.2.4

Eleva $6$ alla potenza di $4$ .

$\frac{1}{2} (26244 - \frac{1}{4} \cdot 1296)$

Passaggio 5.2.5

Moltiplica $1296$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2} (26244 - 1296 (\frac{1}{4}))$

Passaggio 5.2.6

$- 1296$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} (26244 + \frac{- 1296}{4})$

Passaggio 5.2.7

Elimina il fattore comune di $- 1296$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.7.1

Scomponi $4$ da $- 1296$ .

$\frac{1}{2} (26244 + \frac{4 \cdot - 324}{4})$

Passaggio 5.2.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.7.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$\frac{1}{2} (26244 + \frac{4 \cdot - 324}{4 (1)})$

Passaggio 5.2.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} (26244 + \frac{4 \cdot - 324}{4 \cdot 1})$

Passaggio 5.2.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} (26244 + \frac{- 324}{1})$

Passaggio 5.2.7.2.4

Dividi $- 324$ per $1$ .

$\frac{1}{2} (26244 - 324)$

Passaggio 5.2.8

Sottrai $324$ da $26244$ .

$\frac{1}{2} \cdot 25920$

Passaggio 5.2.9

$\frac{1}{2}$ e $25920$ .

$\frac{25920}{2}$

Passaggio 5.2.10

Elimina il fattore comune di $25920$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.10.1

Scomponi $2$ da $25920$ .

$\frac{2 \cdot 12960}{2}$

Passaggio 5.2.10.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.10.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 \cdot 12960}{2 (1)}$

Passaggio 5.2.10.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 12960}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.2.10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{12960}{1}$

Passaggio 5.2.10.2.4

Dividi $12960$ per $1$ .

$12960$

Passaggio 6