Calcolo Esempi

$\int_{- 2}^{2} 3 + \sqrt{4 - x^{2}} d x$

Passaggio 1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{- 2}^{2} 3 d x + \int_{- 2}^{2} \sqrt{4 - x^{2}} d x$

Passaggio 2

Applica la regola costante.

$3 x]_{- 2}^{2} + \int_{- 2}^{2} \sqrt{4 - x^{2}} d x$

Passaggio 3

Sia $x = 2 \sin (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = 2 \cos (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \cos (t)$ è positivo.

$3 x]_{- 2}^{2} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 4

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica $\sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $2 \sin (t)$ .

$3 x]_{- 2}^{2} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{4 - (2^{2} \sin^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 4.1.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$3 x]_{- 2}^{2} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{4 - (4 \sin^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 4.1.1.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$3 x]_{- 2}^{2} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 4.1.2

Scomponi $4$ da $4$ .

$3 x]_{- 2}^{2} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{4 (1) - 4 \sin^{2} (t)} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 4.1.3

Scomponi $4$ da $- 4 \sin^{2} (t)$ .

$3 x]_{- 2}^{2} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 4.1.4

Scomponi $4$ da $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ .

$3 x]_{- 2}^{2} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{4 (1 - \sin^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 4.1.5

Applica l'identità pitagorica.

$3 x]_{- 2}^{2} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{4 \cos^{2} (t)} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 4.1.6

Riscrivi $4 \cos^{2} (t)$ come ${(2 \cos (t))}^{2}$ .

$3 x]_{- 2}^{2} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{{(2 \cos (t))}^{2}} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 4.1.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$3 x]_{- 2}^{2} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 2 \cos (t) (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$3 x]_{- 2}^{2} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 4 \cos (t) \cos (t) d t$

Passaggio 4.2.2

Eleva $\cos (t)$ alla potenza di $1$ .

$3 x]_{- 2}^{2} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 4 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Passaggio 4.2.3

Eleva $\cos (t)$ alla potenza di $1$ .

$3 x]_{- 2}^{2} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 4 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Passaggio 4.2.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$3 x]_{- 2}^{2} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 4 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Passaggio 4.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$3 x]_{- 2}^{2} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 4 \cos^{2} (t) d t$

Passaggio 5

Poiché $4$ è costante rispetto a $t$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$3 x]_{- 2}^{2} + 4 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

Passaggio 6

Utilizza la formula di bisezione per riscrivere $\cos^{2} (t)$ come $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$3 x]_{- 2}^{2} + 4 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $t$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$3 x]_{- 2}^{2} + 4 (\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t)$

Passaggio 8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

$\frac{1}{2}$ e $4$ .

$3 x]_{- 2}^{2} + \frac{4}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 8.2

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$3 x]_{- 2}^{2} + \frac{2 \cdot 2}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 8.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 8.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$3 x]_{- 2}^{2} + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 8.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$3 x]_{- 2}^{2} + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 8.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$3 x]_{- 2}^{2} + \frac{2}{1} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 8.2.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$3 x]_{- 2}^{2} + 2 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 9

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$3 x]_{- 2}^{2} + 2 (\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Passaggio 10

Applica la regola costante.

$3 x]_{- 2}^{2} + 2 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Passaggio 11

Sia $u = 2 t$ . Allora $d u = 2 d t$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sia $u = 2 t$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

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Passaggio 11.1.1

Differenzia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Passaggio 11.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 11.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 11.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 11.2

Sostituisci $t$ con il limite inferiore in $u = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{2})$

Passaggio 11.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{π}{2}$ nel numeratore.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Passaggio 11.3.2

Elimina il fattore comune.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Passaggio 11.3.3

Riscrivi l'espressione.

$u_{lower} = - π$

Passaggio 11.4

Sostituisci $t$ con il limite superiore in $u = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Passaggio 11.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.1

Elimina il fattore comune.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Passaggio 11.5.2

Riscrivi l'espressione.

$u_{upper} = π$

Passaggio 11.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = - π$

$u_{upper} = π$

Passaggio 11.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$3 x]_{- 2}^{2} + 2 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Passaggio 12

$\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$3 x]_{- 2}^{2} + 2 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Passaggio 13

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$3 x]_{- 2}^{2} + 2 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{- π}^{π} \cos (u) d u)$

Passaggio 14

L'integrale di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $\sin (u)$ .

$3 x]_{- 2}^{2} + 2 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{- π}^{π})$

Passaggio 15

$\frac{1}{2}$ e $\sin (u)]_{- π}^{π}$ .

$3 x]_{- 2}^{2} + 2 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{\sin (u)]_{- π}^{π}}{2})$

Passaggio 16

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 16.1

Calcola $3 x$ per $2$ e per $- 2$ .

$(3 \cdot 2) - 3 \cdot - 2 + 2 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{\sin (u)]_{- π}^{π}}{2})$

Passaggio 16.2

Calcola $t$ per $\frac{π}{2}$ e per $- \frac{π}{2}$ .

$(3 \cdot 2) - 3 \cdot - 2 + 2 ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{\sin (u)]_{- π}^{π}}{2})$

Passaggio 16.3

Calcola $\sin (u)$ per $π$ e per $- π$ .

$(3 \cdot 2) - 3 \cdot - 2 + 2 ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Passaggio 16.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.4.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$6 - 3 \cdot - 2 + 2 ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Passaggio 16.4.2

Moltiplica $- 3$ per $- 2$ .

$6 + 6 + 2 ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Passaggio 16.4.3

Somma $6$ e $6$ .

$12 + 2 ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Passaggio 16.4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$12 + 2 (\frac{π + π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Passaggio 16.4.5

Somma $π$ e $π$ .

$12 + 2 (\frac{2 π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Passaggio 16.4.6

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.4.6.1

Elimina il fattore comune.

$12 + 2 (\frac{2 π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Passaggio 16.4.6.2

Dividi $π$ per $1$ .

$12 + 2 (π + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

$12 + 2 (π + \frac{\sin (π) - \sin (- π)}{2})$

Passaggio 17

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$12 + 2 (π + \frac{\sin (0) - \sin (- π)}{2})$

Passaggio 17.1.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$12 + 2 (π + \frac{0 - \sin (- π)}{2})$

Passaggio 17.1.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$12 + 2 (π + \frac{0 - \sin (0)}{2})$

Passaggio 17.1.4

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$12 + 2 (π + \frac{0 - 0}{2})$

Passaggio 17.1.5

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$12 + 2 (π + \frac{0 + 0}{2})$

Passaggio 17.1.6

Somma $0$ e $0$ .

$12 + 2 (π + \frac{0}{2})$

Passaggio 17.2

Dividi $0$ per $2$ .

$12 + 2 (π + 0)$

Passaggio 18

Somma $π$ e $0$ .

$12 + 2 π$

Passaggio 19

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$12 + 2 π$

Forma decimale:

$18.28318530 \dots$

Passaggio 20