Calcolo Esempi

$\int x^{3} e^{4 x^{4}} d x$

Passaggio 1

Sia $u_{1} = x^{2}$ . Allora $d u_{1} = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u_{1} = x^{2}$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int u_{1} e^{4 {\sqrt{u_{1}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Riscrivi ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ come ${u_{1}}^{2}$ .

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Passaggio 2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u_{1}}$ come ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int u_{1} e^{4 {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 2.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u_{1} e^{4 {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 2.1.3

$\frac{1}{2}$ e $4$ .

$\int u_{1} e^{4 {u_{1}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 2.1.4

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

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Passaggio 2.1.4.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\int u_{1} e^{4 {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 2.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.1.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\int u_{1} e^{4 {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 2.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\int u_{1} e^{4 {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 2.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\int u_{1} e^{4 {u_{1}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 2.1.4.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$\int u_{1} e^{4 {u_{1}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 2.2

$\frac{1}{2}$ e $u_{1}$ .

$\int \frac{u_{1}}{2} e^{4 {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Passaggio 2.3

$\frac{u_{1}}{2}$ e $e^{4 {u_{1}}^{2}}$ .

$\int \frac{u_{1} e^{4 {u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int u_{1} e^{4 {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Passaggio 4

Sia $u_{2} = 4 {u_{1}}^{2}$ . Allora $d u_{2} = 8 u_{1} d u_{1}$ , quindi $\frac{1}{8} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 4.1

Sia $u_{2} = 4 {u_{1}}^{2}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Passaggio 4.1.1

Differenzia $4 {u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [4 {u_{1}}^{2}]$

Passaggio 4.1.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $u_{1}$ , la derivata di $4 {u_{1}}^{2}$ rispetto a $u_{1}$ è $4 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 (2 u_{1})$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $2$ per $4$ .

$8 u_{1}$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} \frac{1}{8} d u_{2}$

Passaggio 5

$e^{u_{2}}$ e $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{2}}}{8} d u_{2}$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{8}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{8}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $\frac{1}{8}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8 \cdot 2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 7.2

Moltiplica $8$ per $2$ .

$\frac{1}{16} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 8

L'integrale di $e^{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{16} (e^{u_{2}} + C)$

Passaggio 9

Semplifica.

$\frac{1}{16} e^{u_{2}} + C$

Passaggio 10

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 10.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $4 {u_{1}}^{2}$ .

$\frac{1}{16} e^{4 {u_{1}}^{2}} + C$

Passaggio 10.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{2}$ .

$\frac{1}{16} e^{4 {(x^{2})}^{2}} + C$