Calcolo Esempi

$\int \frac{1}{e^{4 x}} d x$

Passaggio 1

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.1

Nega l'esponente di $e^{4 x}$ e rimuovilo dal denominatore.

$\int 1 {(e^{4 x})}^{- 1} d x$

Passaggio 1.2

Semplifica.

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Passaggio 1.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{4 x})}^{- 1}$ .

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Passaggio 1.2.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{4 x \cdot - 1} d x$

Passaggio 1.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\int 1 e^{- 4 x} d x$

Passaggio 1.2.2

Moltiplica $e^{- 4 x}$ per $1$ .

$\int e^{- 4 x} d x$

Passaggio 2

Sia $u = - 4 x$ . Allora $d u = - 4 d x$ , quindi $- \frac{1}{4} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = - 4 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

Passaggio 2.1.2

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

Passaggio 2.1.4

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$- 4$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{- 4} d u$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int e^{u} (- \frac{1}{4}) d u$

Passaggio 3.2

$e^{u}$ e $\frac{1}{4}$ .

$\int - \frac{e^{u}}{4} d u$

Passaggio 4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{e^{u}}{4} d u$

Passaggio 5

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Passaggio 6

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$- \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

Passaggio 7

Semplifica.

$- \frac{1}{4} e^{u} + C$

Passaggio 8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 4 x$ .

$- \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C$