Calcolo Esempi

$\int_{2}^{3} 1 + 2 e^{- 0.4 x} d x$

Passaggio 1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{2}^{3} d x + \int_{2}^{3} 2 e^{- 0.4 x} d x$

Passaggio 2

Applica la regola costante.

$x]_{2}^{3} + \int_{2}^{3} 2 e^{- 0.4 x} d x$

Passaggio 3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$x]_{2}^{3} + 2 \int_{2}^{3} e^{- 0.4 x} d x$

Passaggio 4

Sia $u = - 0.4 x$ . Allora $d u = - 0.4 d x$ , quindi $\frac{1}{- 0.4} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sia $u = - 0.4 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia $- 0.4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 0.4 x]$

Passaggio 4.1.2

Poiché $- 0.4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 0.4 x$ rispetto a $x$ è $- 0.4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 0.4 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 0.4 \cdot 1$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $- 0.4$ per $1$ .

$- 0.4$

Passaggio 4.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = - 0.4 x$ .

$u_{lower} = - 0.4 \cdot 2$

Passaggio 4.3

Moltiplica $- 0.4$ per $2$ .

$u_{lower} = - 0.8$

Passaggio 4.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = - 0.4 x$ .

$u_{upper} = - 0.4 \cdot 3$

Passaggio 4.5

Moltiplica $- 0.4$ per $3$ .

$u_{upper} = - 1.2$

Passaggio 4.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = - 0.8$

$u_{upper} = - 1.2$

Passaggio 4.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$x]_{2}^{3} + 2 \int_{- 0.8}^{- 1.2} e^{u} \frac{1}{- 0.4} d u$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x]_{2}^{3} + 2 \int_{- 0.8}^{- 1.2} e^{u} (- \frac{1}{0.4}) d u$

Passaggio 5.2

$e^{u}$ e $\frac{1}{0.4}$ .

$x]_{2}^{3} + 2 \int_{- 0.8}^{- 1.2} - \frac{e^{u}}{0.4} d u$

Passaggio 6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$x]_{2}^{3} + 2 (- \int_{- 0.8}^{- 1.2} \frac{e^{u}}{0.4} d u)$

Passaggio 7

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$x]_{2}^{3} - 2 \int_{- 0.8}^{- 1.2} \frac{e^{u}}{0.4} d u$

Passaggio 8

Poiché $\frac{1}{0.4}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{0.4}$ fuori dall'integrale.

$x]_{2}^{3} - 2 (\frac{1}{0.4} \int_{- 0.8}^{- 1.2} e^{u} d u)$

Passaggio 9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

$\frac{1}{0.4}$ e $- 2$ .

$x]_{2}^{3} + \frac{- 2}{0.4} \int_{- 0.8}^{- 1.2} e^{u} d u$

Passaggio 9.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x]_{2}^{3} - \frac{2}{0.4} \int_{- 0.8}^{- 1.2} e^{u} d u$

Passaggio 10

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$x]_{2}^{3} - \frac{2}{0.4} e^{u}]_{- 0.8}^{- 1.2}$

Passaggio 11

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Calcola $x$ per $3$ e per $2$ .

$(3) - 2 - \frac{2}{0.4} e^{u}]_{- 0.8}^{- 1.2}$

Passaggio 11.2

Calcola $e^{u}$ per $- 1.2$ e per $- 0.8$ .

$(3) - 2 - \frac{2}{0.4} ((e^{- 1.2}) - e^{- 0.8})$

Passaggio 11.3

Sottrai $2$ da $3$ .

$1 - \frac{2}{0.4} (e^{- 1.2} - e^{- 0.8})$

Passaggio 12

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Dividi $2$ per $0.4$ .

$1 - 1 \cdot 5 (e^{- 1.2} - e^{- 0.8})$

Passaggio 12.1.2

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$1 - 5 (e^{- 1.2} - e^{- 0.8})$

Passaggio 12.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$1 - 5 e^{- 1.2} - 5 (- e^{- 0.8})$

Passaggio 12.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 5$ .

$1 - 5 e^{- 1.2} + 5 e^{- 0.8}$

Passaggio 12.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - 5 \frac{1}{e^{1.2}} + 5 e^{- 0.8}$

Passaggio 12.2.2

$- 5$ e $\frac{1}{e^{1.2}}$ .

$1 + \frac{- 5}{e^{1.2}} + 5 e^{- 0.8}$

Passaggio 12.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$1 - \frac{5}{e^{1.2}} + 5 e^{- 0.8}$

Passaggio 12.2.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - \frac{5}{e^{1.2}} + 5 \frac{1}{e^{0.8}}$

Passaggio 12.2.5

$5$ e $\frac{1}{e^{0.8}}$ .

$1 - \frac{5}{e^{1.2}} + \frac{5}{e^{0.8}}$

Passaggio 13

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$1 - \frac{5}{e^{1.2}} + \frac{5}{e^{0.8}}$

Forma decimale:

$1.74067376 \dots$

Passaggio 14