Calcolo Esempi

$\int_{2}^{3} 0.1 e^{- 0.1 a} + \frac{2}{a} d a$

Passaggio 1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{2}^{3} 0.1 e^{- 0.1 a} d a + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Passaggio 2

Poiché $0.1$ è costante rispetto a $a$ , sposta $0.1$ fuori dall'integrale.

$0.1 \int_{2}^{3} e^{- 0.1 a} d a + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Passaggio 3

Sia $u = - 0.1 a$ . Allora $d u = - 0.1 d a$ , quindi $\frac{1}{- 0.1} d u = d a$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 3.1

Sia $u = - 0.1 a$ . Trova $\frac{d u}{d a}$ .

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Passaggio 3.1.1

Differenzia $- 0.1 a$ .

$\frac{d}{d a} [- 0.1 a]$

Passaggio 3.1.2

Poiché $- 0.1$ è costante rispetto a $a$ , la derivata di $- 0.1 a$ rispetto a $a$ è $- 0.1 \frac{d}{d a} [a]$ .

$- 0.1 \frac{d}{d a} [a]$

Passaggio 3.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ è $n a^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 0.1 \cdot 1$

Passaggio 3.1.4

Moltiplica $- 0.1$ per $1$ .

$- 0.1$

Passaggio 3.2

Sostituisci $a$ con il limite inferiore in $u = - 0.1 a$ .

$u_{lower} = - 0.1 \cdot 2$

Passaggio 3.3

Moltiplica $- 0.1$ per $2$ .

$u_{lower} = - 0.2$

Passaggio 3.4

Sostituisci $a$ con il limite superiore in $u = - 0.1 a$ .

$u_{upper} = - 0.1 \cdot 3$

Passaggio 3.5

Moltiplica $- 0.1$ per $3$ .

$u_{upper} = - 0.3$

Passaggio 3.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = - 0.2$

$u_{upper} = - 0.3$

Passaggio 3.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$0.1 \int_{- 0.2}^{- 0.3} e^{u} \frac{1}{- 0.1} d u + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$0.1 \int_{- 0.2}^{- 0.3} e^{u} (- \frac{1}{0.1}) d u + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Passaggio 4.2

$e^{u}$ e $\frac{1}{0.1}$ .

$0.1 \int_{- 0.2}^{- 0.3} - \frac{e^{u}}{0.1} d u + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Passaggio 5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$0.1 (- \int_{- 0.2}^{- 0.3} \frac{e^{u}}{0.1} d u) + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Passaggio 6

Moltiplica $- 1$ per $0.1$ .

$- 0.1 \int_{- 0.2}^{- 0.3} \frac{e^{u}}{0.1} d u + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{0.1}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{0.1}$ fuori dall'integrale.

$- 0.1 (\frac{1}{0.1} \int_{- 0.2}^{- 0.3} e^{u} d u) + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

$\frac{1}{0.1}$ e $- 0.1$ .

$\frac{- 0.1}{0.1} \int_{- 0.2}^{- 0.3} e^{u} d u + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Passaggio 8.2

Elimina il fattore comune di $- 0.1$ e $0.1$ .

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Passaggio 8.2.1

Riscrivi $- 0.1$ come $- 1 (0.1)$ .

$\frac{- 1 (0.1)}{0.1} \int_{- 0.2}^{- 0.3} e^{u} d u + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Passaggio 8.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1 \cdot 0.1}{0.1} \int_{- 0.2}^{- 0.3} e^{u} d u + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Passaggio 8.2.3

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- \int_{- 0.2}^{- 0.3} e^{u} d u + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Passaggio 9

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$- (e^{u}]_{- 0.2}^{- 0.3}) + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Passaggio 10

Poiché $2$ è costante rispetto a $a$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$- (e^{u}]_{- 0.2}^{- 0.3}) + 2 \int_{2}^{3} \frac{1}{a} d a$

Passaggio 11

L'integrale di $\frac{1}{a}$ rispetto a $a$ è $\ln (| a |)$ .

$- (e^{u}]_{- 0.2}^{- 0.3}) + 2 (\ln (| a |)]_{2}^{3})$

Passaggio 12

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 12.1

Calcola $e^{u}$ per $- 0.3$ e per $- 0.2$ .

$- ((e^{- 0.3}) - e^{- 0.2}) + 2 (\ln (| a |)]_{2}^{3})$

Passaggio 12.2

Calcola $\ln (| a |)$ per $3$ e per $2$ .

$- ((e^{- 0.3}) - e^{- 0.2}) + 2 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |))$

Passaggio 12.3

Rimuovi le parentesi.

$- (e^{- 0.3} - e^{- 0.2}) + 2 (\ln (| 3 |) - \ln (| 2 |))$

Passaggio 13

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- (e^{- 0.3} - e^{- 0.2}) + 2 \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})$

Passaggio 14

Semplifica.

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Passaggio 14.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (e^{- 0.3} - \frac{1}{e^{0.2}}) + 2 \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})$

Passaggio 14.2

Applica la proprietà distributiva.

$- e^{- 0.3} - - \frac{1}{e^{0.2}} + 2 \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})$

Passaggio 14.3

Moltiplica $- - \frac{1}{e^{0.2}}$ .

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Passaggio 14.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- e^{- 0.3} + 1 \frac{1}{e^{0.2}} + 2 \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})$

Passaggio 14.3.2

Moltiplica $\frac{1}{e^{0.2}}$ per $1$ .

$- e^{- 0.3} + \frac{1}{e^{0.2}} + 2 \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})$

Passaggio 14.4

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $3$ è $3$ .

$- e^{- 0.3} + \frac{1}{e^{0.2}} + 2 \ln (\frac{3}{| 2 |})$

Passaggio 14.5

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$- e^{- 0.3} + \frac{1}{e^{0.2}} + 2 \ln (\frac{3}{2})$

Passaggio 14.6

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{e^{0.3}} + \frac{1}{e^{0.2}} + 2 \ln (\frac{3}{2})$

Passaggio 15

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{1}{e^{0.3}} + \frac{1}{e^{0.2}} + 2 \ln (\frac{3}{2})$

Forma decimale:

$0.88884274 \dots$

Passaggio 16