Calcolo Esempi

$\int_{2}^{3} \frac{2 + u^{2}}{u^{3}} d u$

Passaggio 1

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 1.1

Sposta $u^{3}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int_{2}^{3} (2 + u^{2}) {(u^{3})}^{- 1} d u$

Passaggio 1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{3})}^{- 1}$ .

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Passaggio 1.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{2}^{3} (2 + u^{2}) u^{3 \cdot - 1} d u$

Passaggio 1.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\int_{2}^{3} (2 + u^{2}) u^{- 3} d u$

Passaggio 2

Moltiplica $(2 + u^{2}) u^{- 3}$ .

$\int_{2}^{3} 2 u^{- 3} + u^{2} u^{- 3} d u$

Passaggio 3

Moltiplica $u^{2}$ per $u^{- 3}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int_{2}^{3} 2 u^{- 3} + u^{2 - 3} d u$

Passaggio 3.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$\int_{2}^{3} 2 u^{- 3} + u^{- 1} d u$

Passaggio 4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{2}^{3} 2 u^{- 3} d u + \int_{2}^{3} u^{- 1} d u$

Passaggio 5

Poiché $2$ è costante rispetto a $u$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int_{2}^{3} u^{- 3} d u + \int_{2}^{3} u^{- 1} d u$

Passaggio 6

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{- 3}$ rispetto a $u$ è $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$2 (- \frac{1}{2} u^{- 2}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} u^{- 1} d u$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

$u^{- 2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{u^{- 2}}{2}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} u^{- 1} d u$

Passaggio 7.2

Sposta $u^{- 2}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (- \frac{1}{2 u^{2}}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} u^{- 1} d u$

Passaggio 8

L'integrale di $u^{- 1}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$2 (- \frac{1}{2 u^{2}}]_{2}^{3}) + \ln (| u |)]_{2}^{3}$

Passaggio 9

Semplifica la risposta.

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Passaggio 9.1

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 9.1.1

Calcola $- \frac{1}{2 u^{2}}$ per $3$ e per $2$ .

$2 ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 2^{2}}) + \ln (| u |)]_{2}^{3}$

Passaggio 9.1.2

Calcola $\ln (| u |)$ per $3$ e per $2$ .

$2 ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 2^{2}}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Passaggio 9.1.3

Semplifica.

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Passaggio 9.1.3.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$2 (- \frac{1}{2 \cdot 9} + \frac{1}{2 \cdot 2^{2}}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Passaggio 9.1.3.2

Moltiplica $2$ per $9$ .

$2 (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2 \cdot 2^{2}}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Passaggio 9.1.3.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$2 (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2 \cdot 4}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Passaggio 9.1.3.4

Moltiplica $2$ per $4$ .

$2 (- \frac{1}{18} + \frac{1}{8}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Passaggio 9.1.3.5

Per scrivere $- \frac{1}{18}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$2 (- \frac{1}{18} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{8}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Passaggio 9.1.3.6

Per scrivere $\frac{1}{8}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{9}{9}$ .

$2 (- \frac{1}{18} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{8} \cdot \frac{9}{9}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Passaggio 9.1.3.7

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $72$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 9.1.3.7.1

Moltiplica $\frac{1}{18}$ per $\frac{4}{4}$ .

$2 (- \frac{4}{18 \cdot 4} + \frac{1}{8} \cdot \frac{9}{9}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Passaggio 9.1.3.7.2

Moltiplica $18$ per $4$ .

$2 (- \frac{4}{72} + \frac{1}{8} \cdot \frac{9}{9}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Passaggio 9.1.3.7.3

Moltiplica $\frac{1}{8}$ per $\frac{9}{9}$ .

$2 (- \frac{4}{72} + \frac{9}{8 \cdot 9}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Passaggio 9.1.3.7.4

Moltiplica $8$ per $9$ .

$2 (- \frac{4}{72} + \frac{9}{72}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Passaggio 9.1.3.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 \frac{- 4 + 9}{72} + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Passaggio 9.1.3.9

Somma $- 4$ e $9$ .

$2 (\frac{5}{72}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Passaggio 9.1.3.10

$2$ e $\frac{5}{72}$ .

$\frac{2 \cdot 5}{72} + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Passaggio 9.1.3.11

Moltiplica $2$ per $5$ .

$\frac{10}{72} + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Passaggio 9.1.3.12

Elimina il fattore comune di $10$ e $72$ .

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Passaggio 9.1.3.12.1

Scomponi $2$ da $10$ .

$\frac{2 (5)}{72} + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Passaggio 9.1.3.12.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 9.1.3.12.2.1

Scomponi $2$ da $72$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 36} + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Passaggio 9.1.3.12.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 36} + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Passaggio 9.1.3.12.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5}{36} + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

$\frac{5}{36} + \ln (| 3 |) - \ln (| 2 |)$

Passaggio 9.2

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{5}{36} + \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})$

Passaggio 9.3

Semplifica.

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Passaggio 9.3.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $3$ è $3$ .

$\frac{5}{36} + \ln (\frac{3}{| 2 |})$

Passaggio 9.3.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$\frac{5}{36} + \ln (\frac{3}{2})$

Passaggio 10

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{5}{36} + \ln (\frac{3}{2})$

Forma decimale:

$0.54435399 \dots$

Passaggio 11