Calcolo Esempi

$\int 12 x^{- 3} + e^{6 x} d x$

Passaggio 1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int 12 x^{- 3} d x + \int e^{6 x} d x$

Passaggio 2

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , sposta $12$ fuori dall'integrale.

$12 \int x^{- 3} d x + \int e^{6 x} d x$

Passaggio 3

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{- 3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$12 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int e^{6 x} d x$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

$x^{- 2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$12 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int e^{6 x} d x$

Passaggio 4.2

Sposta $x^{- 2}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$12 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int e^{6 x} d x$

Passaggio 5

Sia $u = 6 x$ . Allora $d u = 6 d x$ , quindi $\frac{1}{6} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 5.1

Sia $u = 6 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 5.1.1

Differenzia $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x]$

Passaggio 5.1.2

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

Passaggio 5.1.4

Moltiplica $6$ per $1$ .

$6$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$12 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int e^{u} \frac{1}{6} d u$

Passaggio 6

$e^{u}$ e $\frac{1}{6}$ .

$12 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int \frac{e^{u}}{6} d u$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{6}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{6}$ fuori dall'integrale.

$12 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \frac{1}{6} \int e^{u} d u$

Passaggio 8

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$12 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \frac{1}{6} (e^{u} + C)$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Semplifica.

$\frac{- 6}{x^{2}} + \frac{1}{6} e^{u} + C$

Passaggio 9.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{6}{x^{2}} + \frac{1}{6} e^{u} + C$

Passaggio 10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $6 x$ .

$- \frac{6}{x^{2}} + \frac{1}{6} e^{6 x} + C$