Calcolo Esempi

$\int 12 \sqrt[3]{\sin (x)} \cos (x) d x$

Passaggio 1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , sposta $12$ fuori dall'integrale.

$12 \int \sqrt[3]{\sin (x)} \cos (x) d x$

Passaggio 2

Sia $u = \sin (x)$ . Allora $d u = \cos (x) d x$ , quindi $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = \sin (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 2.1.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$12 \int \sqrt[3]{u} d u$

Passaggio 3

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{u}$ come $u^{\frac{1}{3}}$ .

$12 \int u^{\frac{1}{3}} d u$

Passaggio 4

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{3}}$ rispetto a $u$ è $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$12 (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Riscrivi $12 (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$ come $12 (\frac{3}{4}) u^{\frac{4}{3}} + C$ .

$12 (\frac{3}{4}) u^{\frac{4}{3}} + C$

Passaggio 5.2

Semplifica.

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Passaggio 5.2.1

$12$ e $\frac{3}{4}$ .

$\frac{12 \cdot 3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica $12$ per $3$ .

$\frac{36}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Passaggio 5.2.3

Elimina il fattore comune di $36$ e $4$ .

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Passaggio 5.2.3.1

Scomponi $4$ da $36$ .

$\frac{4 \cdot 9}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Passaggio 5.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.2.3.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$\frac{4 \cdot 9}{4 (1)} u^{\frac{4}{3}} + C$

Passaggio 5.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 1} u^{\frac{4}{3}} + C$

Passaggio 5.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{9}{1} u^{\frac{4}{3}} + C$

Passaggio 5.2.3.2.4

Dividi $9$ per $1$ .

$9 u^{\frac{4}{3}} + C$

Passaggio 6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sin (x)$ .

$9 {\sin (x)}^{\frac{4}{3}} + C$