Calcolo Esempi

$\int 15 {(y^{6} + 4 y^{3} + 3)}^{3} (2 y^{5} + 4 y^{2}) d y$

Passaggio 1

Poiché $15$ è costante rispetto a $y$ , sposta $15$ fuori dall'integrale.

$15 \int {(y^{6} + 4 y^{3} + 3)}^{3} (2 y^{5} + 4 y^{2}) d y$

Passaggio 2

Sia $u_{1} = y^{2}$ . Allora $d u_{1} = 2 y d y$ , quindi $\frac{1}{2 y} d u_{1} = d y$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sia $u_{1} = y^{2}$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia $y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 y$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$15 \int {({\sqrt{u_{1}}}^{6} + 4 {\sqrt{u_{1}}}^{3} + 3)}^{3} ({\sqrt{u_{1}}}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi ${\sqrt{u_{1}}}^{6}$ come ${u_{1}}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u_{1}}$ come ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$15 \int {({({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{6} + 4 {\sqrt{u_{1}}}^{3} + 3)}^{3} ({\sqrt{u_{1}}}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Passaggio 3.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$15 \int {({u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 6} + 4 {\sqrt{u_{1}}}^{3} + 3)}^{3} ({\sqrt{u_{1}}}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Passaggio 3.1.3

$\frac{1}{2}$ e $6$ .

$15 \int {({u_{1}}^{\frac{6}{2}} + 4 {\sqrt{u_{1}}}^{3} + 3)}^{3} ({\sqrt{u_{1}}}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Passaggio 3.1.4

Elimina il fattore comune di $6$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.4.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$15 \int {({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2}} + 4 {\sqrt{u_{1}}}^{3} + 3)}^{3} ({\sqrt{u_{1}}}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Passaggio 3.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$15 \int {({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} + 4 {\sqrt{u_{1}}}^{3} + 3)}^{3} ({\sqrt{u_{1}}}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Passaggio 3.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$15 \int {({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} + 4 {\sqrt{u_{1}}}^{3} + 3)}^{3} ({\sqrt{u_{1}}}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Passaggio 3.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$15 \int {({u_{1}}^{\frac{3}{1}} + 4 {\sqrt{u_{1}}}^{3} + 3)}^{3} ({\sqrt{u_{1}}}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Passaggio 3.1.4.2.4

Dividi $3$ per $1$ .

$15 \int {({u_{1}}^{3} + 4 {\sqrt{u_{1}}}^{3} + 3)}^{3} ({\sqrt{u_{1}}}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Passaggio 3.2

Riscrivi ${\sqrt{u_{1}}}^{3}$ come $\sqrt{{u_{1}}^{3}}$ .

$15 \int {({u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3)}^{3} ({\sqrt{u_{1}}}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Passaggio 3.3

Riscrivi ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ come ${u_{1}}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u_{1}}$ come ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$15 \int {({u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3)}^{3} ({({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Passaggio 3.3.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$15 \int {({u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3)}^{3} ({u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Passaggio 3.3.3

$\frac{1}{2}$ e $4$ .

$15 \int {({u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3)}^{3} ({u_{1}}^{\frac{4}{2}} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Passaggio 3.3.4

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$15 \int {({u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3)}^{3} ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Passaggio 3.3.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$15 \int {({u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3)}^{3} ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Passaggio 3.3.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$15 \int {({u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3)}^{3} ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Passaggio 3.3.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$15 \int {({u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3)}^{3} ({u_{1}}^{\frac{2}{1}} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Passaggio 3.3.4.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$15 \int {({u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3)}^{3} ({u_{1}}^{2} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Passaggio 4

Sia $u_{2} = {u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3$ . Allora $d u_{2} = (3 {u_{1}}^{2} + 6 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$ , quindi $\frac{1}{3} d u_{2} = ({u_{1}}^{2} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sia $u_{2} = {u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia ${u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di ${u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] + \frac{d}{d u_{1}} [4 \sqrt{{u_{1}}^{3}}] + \frac{d}{d u_{1}} [3]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] + \frac{d}{d u_{1}} [4 \sqrt{{u_{1}}^{3}}] + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} + \frac{d}{d u_{1}} [4 \sqrt{{u_{1}}^{3}}] + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d u_{1}} [4 \sqrt{{u_{1}}^{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{{u_{1}}^{3}}$ come ${u_{1}}^{\frac{3}{2}}$ .

$3 {u_{1}}^{2} + \frac{d}{d u_{1}} [4 {u_{1}}^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Passaggio 4.1.3.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $u_{1}$ , la derivata di $4 {u_{1}}^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $u_{1}$ è $4 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{3}{2}}]$ .

$3 {u_{1}}^{2} + 4 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Passaggio 4.1.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{3}{2}$ .

$3 {u_{1}}^{2} + 4 (\frac{3}{2} {u_{1}}^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Passaggio 4.1.3.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$3 {u_{1}}^{2} + 4 (\frac{3}{2} {u_{1}}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Passaggio 4.1.3.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$3 {u_{1}}^{2} + 4 (\frac{3}{2} {u_{1}}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Passaggio 4.1.3.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$3 {u_{1}}^{2} + 4 (\frac{3}{2} {u_{1}}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Passaggio 4.1.3.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$3 {u_{1}}^{2} + 4 (\frac{3}{2} {u_{1}}^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Passaggio 4.1.3.7.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$3 {u_{1}}^{2} + 4 (\frac{3}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Passaggio 4.1.3.8

$\frac{3}{2}$ e ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 {u_{1}}^{2} + 4 \frac{3 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Passaggio 4.1.3.9

$4$ e $\frac{3 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$3 {u_{1}}^{2} + \frac{4 (3 {u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Passaggio 4.1.3.10

Moltiplica $3$ per $4$ .

$3 {u_{1}}^{2} + \frac{12 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Passaggio 4.1.3.11

Scomponi $2$ da $12 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 {u_{1}}^{2} + \frac{2 (6 {u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Passaggio 4.1.3.12

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.12.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$3 {u_{1}}^{2} + \frac{2 (6 {u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Passaggio 4.1.3.12.2

Elimina il fattore comune.

$3 {u_{1}}^{2} + \frac{2 (6 {u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Passaggio 4.1.3.12.3

Riscrivi l'espressione.

$3 {u_{1}}^{2} + \frac{6 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Passaggio 4.1.3.12.4

Dividi $6 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$3 {u_{1}}^{2} + 6 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Passaggio 4.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $u_{1}$ , la derivata di $3$ rispetto a $u_{1}$ è $0$ .

$3 {u_{1}}^{2} + 6 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + 0$

Passaggio 4.1.4.2

Somma $3 {u_{1}}^{2} + 6 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ e $0$ .

$3 {u_{1}}^{2} + 6 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.1.5

Riscrivi ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ come un radicale.

$3 {u_{1}}^{2} + 6 \sqrt{u_{1}}$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$15 \int {u_{2}}^{3} \frac{1}{3} d u_{2}$

Passaggio 5

${u_{2}}^{3}$ e $\frac{1}{3}$ .

$15 \int \frac{{u_{2}}^{3}}{3} d u_{2}$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$15 (\frac{1}{3} \int {u_{2}}^{3} d u_{2})$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

$\frac{1}{3}$ e $15$ .

$\frac{15}{3} \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

Passaggio 7.2

Elimina il fattore comune di $15$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Scomponi $3$ da $15$ .

$\frac{3 \cdot 5}{3} \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

Passaggio 7.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{3 \cdot 5}{3 (1)} \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

Passaggio 7.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 1} \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

Passaggio 7.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5}{1} \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

Passaggio 7.2.2.4

Dividi $5$ per $1$ .

$5 \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

Passaggio 8

Secondo la regola di potenza, l'intero di ${u_{2}}^{3}$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{4} {u_{2}}^{4}$ .

$5 (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C)$

Passaggio 9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Riscrivi $5 (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C)$ come $5 (\frac{1}{4}) {u_{2}}^{4} + C$ .

$5 (\frac{1}{4}) {u_{2}}^{4} + C$

Passaggio 9.2

$5$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{5}{4} {u_{2}}^{4} + C$

Passaggio 10

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con ${u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3$ .

$\frac{5}{4} {({u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3)}^{4} + C$

Passaggio 10.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $y^{2}$ .

$\frac{5}{4} {({(y^{2})}^{3} + 4 \sqrt{{(y^{2})}^{3}} + 3)}^{4} + C$