Calcolo Esempi

$\int 18 x^{2} \sqrt[4]{6 x^{3} + 5} d x$

Passaggio 1

Poiché $18$ è costante rispetto a $x$ , sposta $18$ fuori dall'integrale.

$18 \int x^{2} \sqrt[4]{6 x^{3} + 5} d x$

Passaggio 2

Sia $u = 6 x^{3} + 5$ . Allora $d u = 18 x^{2} d x$ , quindi $\frac{1}{18} d u = x^{2} d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = 6 x^{3} + 5$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $6 x^{3} + 5$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{3} + 5]$

Passaggio 2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 x^{3} + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x^{3}]$ .

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Passaggio 2.1.3.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x^{3}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$6 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $3$ per $6$ .

$18 x^{2} + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 2.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 2.1.4.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$18 x^{2} + 0$

Passaggio 2.1.4.2

Somma $18 x^{2}$ e $0$ .

$18 x^{2}$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$18 \int \sqrt[4]{u} \frac{1}{18} d u$

Passaggio 3

$\sqrt[4]{u}$ e $\frac{1}{18}$ .

$18 \int \frac{\sqrt[4]{u}}{18} d u$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{18}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{18}$ fuori dall'integrale.

$18 (\frac{1}{18} \int \sqrt[4]{u} d u)$

Passaggio 5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.1

Semplifica.

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Passaggio 5.1.1

$\frac{1}{18}$ e $18$ .

$\frac{18}{18} \int \sqrt[4]{u} d u$

Passaggio 5.1.2

Elimina il fattore comune di $18$ .

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Passaggio 5.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{18}{18} \int \sqrt[4]{u} d u$

Passaggio 5.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 \int \sqrt[4]{u} d u$

Passaggio 5.1.3

Moltiplica $\int \sqrt[4]{u} d u$ per $1$ .

$\int \sqrt[4]{u} d u$

Passaggio 5.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[4]{u}$ come $u^{\frac{1}{4}}$ .

$\int u^{\frac{1}{4}} d u$

Passaggio 6

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{4}}$ rispetto a $u$ è $\frac{4}{5} u^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{4}{5} u^{\frac{5}{4}} + C$

Passaggio 7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $6 x^{3} + 5$ .

$\frac{4}{5} {(6 x^{3} + 5)}^{\frac{5}{4}} + C$