Calcolo Esempi

$\int 16 \tan^{4} (x) \sec^{6} (x) d x$

Passaggio 1

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , sposta $16$ fuori dall'integrale.

$16 \int \tan^{4} (x) \sec^{6} (x) d x$

Passaggio 2

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 2.1

Riscrivi $6$ come $4$ più $2$ .

$16 \int \tan^{4} (x) {\sec (x)}^{4 + 2} d x$

Passaggio 2.2

Riscrivi ${\sec (x)}^{4 + 2}$ come $\sec^{4} (x) \sec^{2} (x)$ .

$16 \int \tan^{4} (x) (\sec^{4} (x) \sec^{2} (x)) d x$

Passaggio 2.3

Scomponi $2$ da $4$ .

$16 \int \tan^{4} (x) ({\sec (x)}^{2 (2)} \sec^{2} (x)) d x$

Passaggio 2.4

Riscrivi ${\sec (x)}^{2 (2)}$ come un elevamento a potenza.

$16 \int \tan^{4} (x) ({(\sec^{2} (x))}^{2} \sec^{2} (x)) d x$

$16 \int \tan^{4} (x) ({(\sec^{2} (x))}^{2} \sec^{2} (x)) d x$

Passaggio 3

Utilizzando l'identità pitagorica, riscrivi $\sec^{2} (x)$ come $1 + \tan^{2} (x)$ .

$16 \int \tan^{4} (x) ({(1 + \tan^{2} (x))}^{2} \sec^{2} (x)) d x$

Passaggio 4

Sia $u = \tan (x)$ . Allora $d u = \sec^{2} (x) d x$ , quindi $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 4.1

Sia $u = \tan (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 4.1.1

Differenzia $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Passaggio 4.1.2

La derivata di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

$\sec^{2} (x)$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$16 \int u^{4} {(1 + u^{2})}^{2} d u$

$16 \int u^{4} {(1 + u^{2})}^{2} d u$

Passaggio 5

Espandi $u^{4} {(1 + u^{2})}^{2}$ .

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Passaggio 5.1

Riscrivi ${(1 + u^{2})}^{2}$ come $(1 + u^{2}) (1 + u^{2})$ .

$16 \int u^{4} ((1 + u^{2}) (1 + u^{2})) d u$

Passaggio 5.2

Applica la proprietà distributiva.

$16 \int u^{4} (1 (1 + u^{2}) + u^{2} (1 + u^{2})) d u$

Passaggio 5.3

Applica la proprietà distributiva.

$16 \int u^{4} (1 \cdot 1 + 1 u^{2} + u^{2} (1 + u^{2})) d u$

Passaggio 5.4

Applica la proprietà distributiva.

$16 \int u^{4} (1 \cdot 1 + 1 u^{2} + u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) d u$

Passaggio 5.5

Applica la proprietà distributiva.

$16 \int u^{4} (1 \cdot 1 + 1 u^{2}) + u^{4} (u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) d u$

Passaggio 5.6

Applica la proprietà distributiva.

$16 \int u^{4} (1 \cdot 1) + u^{4} (1 u^{2}) + u^{4} (u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) d u$

Passaggio 5.7

Applica la proprietà distributiva.

$16 \int u^{4} (1 \cdot 1) + u^{4} (1 u^{2}) + u^{4} (u^{2} \cdot 1) + u^{4} (u^{2} u^{2}) d u$

Passaggio 5.8

Sposta $u^{4}$ .

$16 \int 1 \cdot 1 u^{4} + u^{4} (1 u^{2}) + u^{4} (u^{2} \cdot 1) + u^{4} (u^{2} u^{2}) d u$

Passaggio 5.9

Riordina $u^{4}$ e $1$ .

$16 \int 1 \cdot 1 u^{4} + 1 \cdot u^{4} u^{2} + u^{4} (u^{2} \cdot 1) + u^{4} (u^{2} u^{2}) d u$

Passaggio 5.10

Riordina $u^{2}$ e $1$ .

$16 \int 1 \cdot 1 u^{4} + 1 \cdot u^{4} u^{2} + u^{4} (1 \cdot u^{2}) + u^{4} (u^{2} u^{2}) d u$

Passaggio 5.11

Riordina $u^{4}$ e $1$ .

$16 \int 1 \cdot 1 u^{4} + 1 \cdot u^{4} u^{2} + 1 \cdot u^{4} \cdot u^{2} + u^{4} (u^{2} u^{2}) d u$

Passaggio 5.12

Moltiplica $1$ per $1$ .

$16 \int 1 u^{4} + 1 u^{4} u^{2} + 1 u^{4} u^{2} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 5.13

Moltiplica $u^{4}$ per $1$ .

$16 \int u^{4} + 1 u^{4} u^{2} + 1 u^{4} u^{2} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 5.14

Moltiplica $u^{4}$ per $1$ .

$16 \int u^{4} + u^{4} u^{2} + 1 u^{4} u^{2} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 5.15

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$16 \int u^{4} + u^{4 + 2} + 1 u^{4} u^{2} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 5.16

Somma $4$ e $2$ .

$16 \int u^{4} + u^{6} + 1 u^{4} u^{2} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 5.17

Moltiplica $u^{4}$ per $1$ .

$16 \int u^{4} + u^{6} + u^{4} u^{2} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 5.18

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$16 \int u^{4} + u^{6} + u^{4 + 2} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 5.19

Somma $4$ e $2$ .

$16 \int u^{4} + u^{6} + u^{6} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 5.20

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$16 \int u^{4} + u^{6} + u^{6} + u^{4 + 2} u^{2} d u$

Passaggio 5.21

Somma $4$ e $2$ .

$16 \int u^{4} + u^{6} + u^{6} + u^{6} u^{2} d u$

Passaggio 5.22

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$16 \int u^{4} + u^{6} + u^{6} + u^{6 + 2} d u$

Passaggio 5.23

Somma $6$ e $2$ .

$16 \int u^{4} + u^{6} + u^{6} + u^{8} d u$

Passaggio 5.24

Somma $u^{6}$ e $u^{6}$ .

$16 \int u^{4} + 2 u^{6} + u^{8} d u$

Passaggio 5.25

Riordina $2 u^{6}$ e $u^{8}$ .

$16 \int u^{4} + u^{8} + 2 u^{6} d u$

Passaggio 5.26

Sposta $u^{4}$ .

$16 \int u^{8} + 2 u^{6} + u^{4} d u$

$16 \int u^{8} + 2 u^{6} + u^{4} d u$

Passaggio 6

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$16 (\int u^{8} d u + \int 2 u^{6} d u + \int u^{4} d u)$

Passaggio 7

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{8}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{9} u^{9}$ .

$16 (\frac{1}{9} u^{9} + C + \int 2 u^{6} d u + \int u^{4} d u)$

Passaggio 8

Poiché $2$ è costante rispetto a $u$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$16 (\frac{1}{9} u^{9} + C + 2 \int u^{6} d u + \int u^{4} d u)$

Passaggio 9

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{6}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$16 (\frac{1}{9} u^{9} + C + 2 (\frac{1}{7} u^{7} + C) + \int u^{4} d u)$

Passaggio 10

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{4}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$16 (\frac{1}{9} u^{9} + C + 2 (\frac{1}{7} u^{7} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

Passaggio 11

Semplifica.

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Passaggio 11.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1

$\frac{1}{7}$ e $u^{7}$ .

$16 (\frac{1}{9} u^{9} + C + 2 (\frac{u^{7}}{7} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

Passaggio 11.1.2

$\frac{1}{9}$ e $u^{9}$ .

$16 (\frac{u^{9}}{9} + C + 2 (\frac{u^{7}}{7} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

Passaggio 11.1.3

$\frac{1}{5}$ e $u^{5}$ .

$16 (\frac{u^{9}}{9} + C + 2 (\frac{u^{7}}{7} + C) + \frac{u^{5}}{5} + C)$

$16 (\frac{u^{9}}{9} + C + 2 (\frac{u^{7}}{7} + C) + \frac{u^{5}}{5} + C)$

Passaggio 11.2

Semplifica.

$16 (\frac{u^{9}}{9} + \frac{2 u^{7}}{7} + \frac{u^{5}}{5}) + C$

$16 (\frac{u^{9}}{9} + \frac{2 u^{7}}{7} + \frac{u^{5}}{5}) + C$

Passaggio 12

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\tan (x)$ .

$16 (\frac{\tan^{9} (x)}{9} + \frac{2 \tan^{7} (x)}{7} + \frac{\tan^{5} (x)}{5}) + C$

Passaggio 13

Riordina i termini.

$16 (\frac{1}{9} \tan^{9} (x) + \frac{2}{7} \tan^{7} (x) + \frac{1}{5} \tan^{5} (x)) + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$