Calcolo Esempi

$\int_{1}^{e} \ln (x^{m}) d x$

Passaggio 1

Riscrivi $\ln (x^{m})$ come $m \ln (x)$ .

$\int_{1}^{e} m \ln (x) d x$

Passaggio 2

Poiché $m$ è costante rispetto a $x$ , sposta $m$ fuori dall'integrale.

$m \int_{1}^{e} \ln (x) d x$

Passaggio 3

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \ln (x)$ e $d v = 1$ .

$m (\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} x \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

$x$ e $\frac{1}{x}$ .

$m (\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x}{x} d x)$

Passaggio 4.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Elimina il fattore comune.

$m (\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x}{x} d x)$

Passaggio 4.2.2

Riscrivi l'espressione.

$m (\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} d x)$

Passaggio 5

Applica la regola costante.

$m (\ln (x) x]_{1}^{e} - (x]_{1}^{e}))$

Passaggio 6

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Calcola $\ln (x) x$ per $e$ e per $1$ .

$m ((\ln (e) e) - \ln (1) \cdot 1 - (x]_{1}^{e}))$

Passaggio 6.2

Calcola $x$ per $e$ e per $1$ .

$m ((\ln (e) e) - \ln (1) \cdot 1 - ((e) - 1))$

Passaggio 6.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$m (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$m (1 e - \ln (1) - (e - 1))$

Passaggio 7.1.2

Moltiplica $e$ per $1$ .

$m (e - \ln (1) - (e - 1))$

Passaggio 7.1.3

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$m (e - 0 - (e - 1))$

Passaggio 7.1.4

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$m (e + 0 - (e - 1))$

Passaggio 7.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$m (e + 0 - e - - 1)$

Passaggio 7.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$m (e + 0 - e + 1)$

Passaggio 7.2

Somma $e$ e $0$ .

$m (e - e + 1)$

Passaggio 7.3

Sottrai $e$ da $e$ .

$m (0 + 1)$

Passaggio 7.4

Somma $0$ e $1$ .

$m \cdot 1$

Passaggio 7.5

Moltiplica $m$ per $1$ .

$m$