Calcolo Esempi

$\int_{1}^{e} \frac{1 - \ln (x)}{x} d x$

Passaggio 1

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} + \frac{- \ln (x)}{x} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x + \int_{1}^{e} \frac{- \ln (x)}{x} d x$

Passaggio 3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x + \int_{1}^{e} - \frac{\ln (x)}{x} d x$

Passaggio 4

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} - \frac{\ln (x)}{x} d x$

Passaggio 5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\ln (| x |)]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{\ln (x)}{x} d x$

Passaggio 6

Sia $u = \ln (x)$ . Allora $d u = \frac{1}{x} d x$ , quindi $x d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sia $u = \ln (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Differenzia $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 6.1.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Passaggio 6.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = \ln (x)$ .

$u_{lower} = \ln (1)$

Passaggio 6.3

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 6.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = \ln (x)$ .

$u_{upper} = \ln (e)$

Passaggio 6.5

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$u_{upper} = 1$

Passaggio 6.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Passaggio 6.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\ln (| x |)]_{1}^{e} - \int_{0}^{1} u d u$

Passaggio 7

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{e} - (\frac{1}{2} u^{2}]_{0}^{1})$

Passaggio 8

$\frac{1}{2}$ e $u^{2}$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{e} - (\frac{u^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Passaggio 9

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Calcola $\ln (| x |)$ per $e$ e per $1$ .

$(\ln (| e |)) - \ln (| 1 |) - (\frac{u^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Passaggio 9.2

Calcola $\frac{u^{2}}{2}$ per $1$ e per $0$ .

$(\ln (| e |)) - \ln (| 1 |) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 9.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 9.3.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - \frac{0}{2})$

Passaggio 9.3.3

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Passaggio 9.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Passaggio 9.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Passaggio 9.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - \frac{0}{1})$

Passaggio 9.3.3.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - 0)$

Passaggio 9.3.4

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} + 0)$

Passaggio 9.3.5

Somma $\frac{1}{2}$ e $0$ .

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - \frac{1}{2}$

Passaggio 10

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| e |}{| 1 |}) - \frac{1}{2}$

Passaggio 11

Semplifica.

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Passaggio 11.1

$e$ corrisponde approssimativamente a $2.71828182$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\ln (\frac{e}{| 1 |}) - \frac{1}{2}$

Passaggio 11.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\ln (\frac{e}{1}) - \frac{1}{2}$

Passaggio 11.3

Dividi $e$ per $1$ .

$\ln (e) - \frac{1}{2}$

Passaggio 12

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$1 - \frac{1}{2}$

Passaggio 12.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Passaggio 12.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 - 1}{2}$

Passaggio 12.4

Sottrai $1$ da $2$ .

$\frac{1}{2}$

Passaggio 13

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{1}{2}$

Forma decimale:

$0.5$