Calcolo Esempi

$\int_{1}^{e} 6 x^{2} \ln (x) d x$

Passaggio 1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , sposta $6$ fuori dall'integrale.

$6 \int_{1}^{e} x^{2} \ln (x) d x$

Passaggio 2

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \ln (x)$ e $d v = x^{2}$ .

$6 (\ln (x) (\frac{1}{3} x^{3})]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$6 (\ln (x) \frac{x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 3.2

$\ln (x)$ e $\frac{x^{3}}{3}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 3.3

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x^{3}}{3} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 3.4

Moltiplica $\frac{x^{3}}{3}$ per $\frac{1}{x}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x^{3}}{3 x} d x)$

Passaggio 3.5

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{2}}{3 x} d x)$

Passaggio 3.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Scomponi $x$ da $3 x$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 3} d x)$

Passaggio 3.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 3} d x)$

Passaggio 3.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x^{2}}{3} d x)$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} x^{2} d x))$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{e})$

Passaggio 6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \frac{1}{3} \frac{x^{3}}{3}]_{1}^{e})$

Passaggio 6.1.2

$\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{e}$ e $\frac{1}{3}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \frac{\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{e}}{3})$

Passaggio 6.2

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Calcola $\frac{\ln (x) x^{3}}{3}$ per $e$ e per $1$ .

$6 ((\frac{\ln (e) e^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{e}}{3})$

Passaggio 6.2.2

Calcola $\frac{x^{3}}{3}$ per $e$ e per $1$ .

$6 ((\frac{\ln (e) e^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{(\frac{e^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

Passaggio 6.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1}{3} - \frac{(\frac{e^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

Passaggio 6.2.3.2

Moltiplica $\ln (1)$ per $1$ .

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{(\frac{e^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

Passaggio 6.2.3.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}}{3})$

Passaggio 6.2.3.4

Moltiplica $\frac{\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}}{3}$ per $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - (\frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}}{3}))$

Passaggio 6.2.3.5

Combina.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{3 (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})}{3 \cdot 3})$

Passaggio 6.2.3.6

Applica la proprietà distributiva.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{3 \frac{e^{3}}{3} + 3 (- \frac{1}{3})}{3 \cdot 3})$

Passaggio 6.2.3.7

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.7.1

Elimina il fattore comune.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{3 \frac{e^{3}}{3} + 3 (- \frac{1}{3})}{3 \cdot 3})$

Passaggio 6.2.3.7.2

Riscrivi l'espressione.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} + 3 (- \frac{1}{3})}{3 \cdot 3})$

Passaggio 6.2.3.8

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} - 3 (\frac{1}{3})}{3 \cdot 3})$

Passaggio 6.2.3.9

$- 3$ e $\frac{1}{3}$ .

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} + \frac{- 3}{3}}{3 \cdot 3})$

Passaggio 6.2.3.10

Elimina il fattore comune di $- 3$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.10.1

Scomponi $3$ da $- 3$ .

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3}}{3 \cdot 3})$

Passaggio 6.2.3.10.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.10.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)}}{3 \cdot 3})$

Passaggio 6.2.3.10.2.2

Elimina il fattore comune.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1}}{3 \cdot 3})$

Passaggio 6.2.3.10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} + \frac{- 1}{1}}{3 \cdot 3})$

Passaggio 6.2.3.10.2.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} - 1}{3 \cdot 3})$

Passaggio 6.2.3.11

Moltiplica $3$ per $3$ .

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} - 1}{9})$

Passaggio 6.2.3.12

Per scrivere $\frac{\ln (e) e^{3}}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{e^{3} - 1}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

Passaggio 6.2.3.13

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $9$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.13.1

Moltiplica $\frac{\ln (e) e^{3}}{3}$ per $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{\ln (e) e^{3} \cdot 3}{3 \cdot 3} - \frac{e^{3} - 1}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

Passaggio 6.2.3.13.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$6 (\frac{\ln (e) e^{3} \cdot 3}{9} - \frac{e^{3} - 1}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

Passaggio 6.2.3.14

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3} \cdot 3 - (e^{3} - 1)}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

Passaggio 6.2.3.15

Sposta $3$ alla sinistra di $\ln (e) e^{3}$ .

$6 (\frac{3 \ln (e) e^{3} - (e^{3} - 1)}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.1

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$6 (\frac{3 \cdot 1 e^{3} - (e^{3} - 1)}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

Passaggio 7.1.1.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$6 (\frac{3 e^{3} - (e^{3} - 1)}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

Passaggio 7.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$6 (\frac{3 e^{3} - e^{3} - - 1}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

Passaggio 7.1.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$6 (\frac{3 e^{3} - e^{3} + 1}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

Passaggio 7.1.1.5

Sottrai $e^{3}$ da $3 e^{3}$ .

$6 (\frac{2 e^{3} + 1}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

Passaggio 7.1.2

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$6 (\frac{2 e^{3} + 1}{9} - \frac{0}{3})$

Passaggio 7.1.3

Dividi $0$ per $3$ .

$6 (\frac{2 e^{3} + 1}{9} - 0)$

Passaggio 7.1.4

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$6 (\frac{2 e^{3} + 1}{9} + 0)$

Passaggio 7.2

Somma $\frac{2 e^{3} + 1}{9}$ e $0$ .

$6 \frac{2 e^{3} + 1}{9}$

Passaggio 7.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 7.3.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$3 (2) \frac{2 e^{3} + 1}{9}$

Passaggio 7.3.2

Scomponi $3$ da $9$ .

$3 \cdot 2 \frac{2 e^{3} + 1}{3 \cdot 3}$

Passaggio 7.3.3

Elimina il fattore comune.

$3 \cdot 2 \frac{2 e^{3} + 1}{3 \cdot 3}$

Passaggio 7.3.4

Riscrivi l'espressione.

$2 \frac{2 e^{3} + 1}{3}$

Passaggio 7.4

$2$ e $\frac{2 e^{3} + 1}{3}$ .

$\frac{2 (2 e^{3} + 1)}{3}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{2 (2 e^{3} + 1)}{3}$

Forma decimale:

$27.44738256 \dots$