Calcolo Esempi

$\int_{1}^{9} \frac{1}{\sqrt[3]{x - 9}} d x$

Passaggio 1

Sia $u = x - 9$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = x - 9$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $x - 9$ .

$\frac{d}{d x} [x - 9]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 9]$

Passaggio 1.1.4

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 1.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 1.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = x - 9$ .

$u_{lower} = 1 - 9$

Passaggio 1.3

Sottrai $9$ da $1$ .

$u_{lower} = - 8$

Passaggio 1.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = x - 9$ .

$u_{upper} = 9 - 9$

Passaggio 1.5

Sottrai $9$ da $9$ .

$u_{upper} = 0$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = - 8$

$u_{upper} = 0$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{- 8}^{0} \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Passaggio 2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{u}$ come $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\int_{- 8}^{0} \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Passaggio 2.2

Sposta $u^{\frac{1}{3}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int_{- 8}^{0} {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

Passaggio 2.3

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{- 8}^{0} u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

Passaggio 2.3.2

$\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$\int_{- 8}^{0} u^{\frac{- 1}{3}} d u$

Passaggio 2.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int_{- 8}^{0} u^{- \frac{1}{3}} d u$

Passaggio 3

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{- \frac{1}{3}}$ rispetto a $u$ è $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}]_{- 8}^{0}$

Passaggio 4

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 4.1

Calcola $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ per $0$ e per $- 8$ .

$(\frac{3}{2} \cdot 0^{\frac{2}{3}}) - \frac{3}{2} {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 4.2

Semplifica.

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Passaggio 4.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$\frac{3}{2} \cdot {(0^{3})}^{\frac{2}{3}} - \frac{3}{2} {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 4.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{2} \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})} - \frac{3}{2} {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 4.2.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3}{2} \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})} - \frac{3}{2} {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 4.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3}{2} \cdot 0^{2} - \frac{3}{2} {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 4.2.4

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot 0 - \frac{3}{2} {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 4.2.5

Moltiplica $\frac{3}{2}$ per $0$ .

$0 - \frac{3}{2} {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 4.2.6

Riscrivi $- 8$ come ${(- 2)}^{3}$ .

$0 - \frac{3}{2} {({(- 2)}^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 4.2.7

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - \frac{3}{2} {(- 2)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Passaggio 4.2.8

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 4.2.8.1

Elimina il fattore comune.

$0 - \frac{3}{2} {(- 2)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Passaggio 4.2.8.2

Riscrivi l'espressione.

$0 - \frac{3}{2} {(- 2)}^{2}$

Passaggio 4.2.9

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$0 - \frac{3}{2} \cdot 4$

Passaggio 4.2.10

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$0 - 4 (\frac{3}{2})$

Passaggio 4.2.11

$- 4$ e $\frac{3}{2}$ .

$0 + \frac{- 4 \cdot 3}{2}$

Passaggio 4.2.12

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$0 + \frac{- 12}{2}$

Passaggio 4.2.13

Elimina il fattore comune di $- 12$ e $2$ .

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Passaggio 4.2.13.1

Scomponi $2$ da $- 12$ .

$0 + \frac{2 \cdot - 6}{2}$

Passaggio 4.2.13.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.13.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$0 + \frac{2 \cdot - 6}{2 (1)}$

Passaggio 4.2.13.2.2

Elimina il fattore comune.

$0 + \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.13.2.3

Riscrivi l'espressione.

$0 + \frac{- 6}{1}$

Passaggio 4.2.13.2.4

Dividi $- 6$ per $1$ .

$0 - 6$

Passaggio 4.2.14

Sottrai $6$ da $0$ .

$- 6$

Passaggio 5