Calcolo Esempi

$\int_{1}^{9} x - \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Passaggio 1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{1}^{9} x d x + \int_{1}^{9} - \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Passaggio 2

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{9} + \int_{1}^{9} - \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{9} - \int_{1}^{9} \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Passaggio 4

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{9} - \int_{1}^{9} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 4.2

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{9} - \int_{1}^{9} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Passaggio 4.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 4.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{9} - \int_{1}^{9} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Passaggio 4.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{9} - \int_{1}^{9} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Passaggio 4.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{9} - \int_{1}^{9} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{9} - (2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{9})$

Passaggio 6

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 6.1

Calcola $\frac{1}{2} x^{2}$ per $9$ e per $1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 9^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - (2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{9})$

Passaggio 6.2

Calcola $2 x^{\frac{1}{2}}$ per $9$ e per $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3

Semplifica.

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Passaggio 6.3.1

Eleva $9$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 81 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3.2

$\frac{1}{2}$ e $81$ .

$\frac{81}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{81}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{81}{2} - \frac{1}{2} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{81 - 1}{2} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3.6

Sottrai $1$ da $81$ .

$\frac{80}{2} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3.7

Elimina il fattore comune di $80$ e $2$ .

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Passaggio 6.3.7.1

Scomponi $2$ da $80$ .

$\frac{2 \cdot 40}{2} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3.7.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 6.3.7.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 \cdot 40}{2 (1)} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 40}{2 \cdot 1} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{40}{1} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3.7.2.4

Dividi $40$ per $1$ .

$40 - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3.8

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$40 - (2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3.9

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$40 - (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3.10

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 6.3.10.1

Elimina il fattore comune.

$40 - (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3.10.2

Riscrivi l'espressione.

$40 - (2 \cdot 3^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3.11

Calcola l'esponente.

$40 - (2 \cdot 3 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3.12

Moltiplica $2$ per $3$ .

$40 - (6 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3.13

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$40 - (6 - 2 \cdot 1)$

Passaggio 6.3.14

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$40 - (6 - 2)$

Passaggio 6.3.15

Sottrai $2$ da $6$ .

$40 - 1 \cdot 4$

Passaggio 6.3.16

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$40 - 4$

Passaggio 6.3.17

Sottrai $4$ da $40$ .

$36$

Passaggio 7