Calcolo Esempi

$\int 10.8 \sqrt{- 4 x + 5} d x$

Passaggio 1

Poiché $10.8$ è costante rispetto a $x$ , sposta $10.8$ fuori dall'integrale.

$10.8 \int \sqrt{- 4 x + 5} d x$

Passaggio 2

Sia $u = - 4 x + 5$ . Allora $d u = - 4 d x$ , quindi $- \frac{1}{4} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = - 4 x + 5$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $- 4 x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x + 5]$

Passaggio 2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 4 x + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Passaggio 2.1.3.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$- 4 + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 2.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 2.1.4.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 4 + 0$

Passaggio 2.1.4.2

Somma $- 4$ e $0$ .

$- 4$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$10.8 \int \sqrt{u} \frac{1}{- 4} d u$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$10.8 \int \sqrt{u} (- \frac{1}{4}) d u$

Passaggio 3.2

$\sqrt{u}$ e $\frac{1}{4}$ .

$10.8 \int - \frac{\sqrt{u}}{4} d u$

Passaggio 4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$10.8 (- \int \frac{\sqrt{u}}{4} d u)$

Passaggio 5

Moltiplica $- 1$ per $10.8$ .

$- 10.8 \int \frac{\sqrt{u}}{4} d u$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$- 10.8 (\frac{1}{4} \int \sqrt{u} d u)$

Passaggio 7

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 7.1

Semplifica.

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Passaggio 7.1.1

$\frac{1}{4}$ e $- 10.8$ .

$\frac{- 10.8}{4} \int \sqrt{u} d u$

Passaggio 7.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{10.8}{4} \int \sqrt{u} d u$

Passaggio 7.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{10.8}{4} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 8

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{10.8}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Riscrivi $- \frac{10.8}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ come $- 1 \cdot 2.7 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}) + C$ .

$- 1 \cdot 2.7 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}) + C$

Passaggio 9.2

Semplifica.

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Passaggio 9.2.1

Moltiplica $- 1$ per $2.7$ .

$- 2.7 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}) + C$

Passaggio 9.2.2

$\frac{2}{3}$ e $u^{\frac{3}{2}}$ .

$- 2.7 \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Passaggio 9.2.3

$- 2.7$ e $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{- 2.7 (2 u^{\frac{3}{2}})}{3} + C$

Passaggio 9.2.4

Moltiplica $2$ per $- 2.7$ .

$\frac{- 5.4 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Passaggio 9.2.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{5.4 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Passaggio 10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 4 x + 5$ .

$- \frac{5.4 {(- 4 x + 5)}^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Passaggio 11

Riordina i termini.

$- \frac{5.4}{3} {(- 4 x + 5)}^{\frac{3}{2}} + C$