Calcolo Esempi

$\int_{- 10}^{2} \sqrt{20 - 8 x - x^{2}} d x$

Passaggio 1

Completa il quadrato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Sposta $20$ .

$- 8 x - x^{2} + 20$

Passaggio 1.1.2

Riordina $- 8 x$ e $- x^{2}$ .

$- x^{2} - 8 x + 20$

Passaggio 1.2

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 1$

$b = - 8$

$c = 20$

Passaggio 1.3

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.4

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 8}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 1.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Elimina il fattore comune di $- 8$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1.1

Scomponi $2$ da $- 8$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 1.4.2.1.2

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{- 4}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 4$

Passaggio 1.4.2.2

Riscrivi $- 1 \cdot - 4$ come $- - 4$ .

$d = - - 4$

Passaggio 1.4.2.3

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$d = 4$

Passaggio 1.5

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 20 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 1.5.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1.1

Eleva $- 8$ alla potenza di $2$ .

$e = 20 - \frac{64}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 1.5.2.1.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$e = 20 - \frac{64}{- 4}$

Passaggio 1.5.2.1.3

Dividi $64$ per $- 4$ .

$e = 20 - - 16$

Passaggio 1.5.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 16$ .

$e = 20 + 16$

Passaggio 1.5.2.2

Somma $20$ e $16$ .

$e = 36$

Passaggio 1.6

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $- {(x + 4)}^{2} + 36$ .

$\int_{- 10}^{2} \sqrt{- {(x + 4)}^{2} + 36} d x$

Passaggio 2

Sia $u_{1} = x + 4$ . Allora $d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sia $u_{1} = x + 4$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia $x + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

Passaggio 2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 2.1.4

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u_{1} = x + 4$ .

$u_{lower} = - 10 + 4$

Passaggio 2.3

Somma $- 10$ e $4$ .

$u_{lower} = - 6$

Passaggio 2.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u_{1} = x + 4$ .

$u_{upper} = 2 + 4$

Passaggio 2.5

Somma $2$ e $4$ .

$u_{upper} = 6$

Passaggio 2.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = - 6$

$u_{upper} = 6$

Passaggio 2.7

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ , $d u_{1}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{- 6}^{6} \sqrt{- {u_{1}}^{2} + 36} d u_{1}$

Passaggio 3

Sia $u_{1} = 6 \sin (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d u_{1} = 6 \cos (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $6 \cos (t)$ è positivo.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{- {(6 \sin (t))}^{2} + 36} (6 \cos (t)) d t$

Passaggio 4

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica $\sqrt{- {(6 \sin (t))}^{2} + 36}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $6 \sin (t)$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{- (6^{2} \sin^{2} (t)) + 36} (6 \cos (t)) d t$

Passaggio 4.1.1.2

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{- (36 \sin^{2} (t)) + 36} (6 \cos (t)) d t$

Passaggio 4.1.1.3

Moltiplica $36$ per $- 1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{- 36 \sin^{2} (t) + 36} (6 \cos (t)) d t$

Passaggio 4.1.2

Riordina $- 36 \sin^{2} (t)$ e $36$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{36 - 36 \sin^{2} (t)} (6 \cos (t)) d t$

Passaggio 4.1.3

Scomponi $36$ da $36$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{36 (1) - 36 \sin^{2} (t)} (6 \cos (t)) d t$

Passaggio 4.1.4

Scomponi $36$ da $- 36 \sin^{2} (t)$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{36 (1) + 36 (- \sin^{2} (t))} (6 \cos (t)) d t$

Passaggio 4.1.5

Scomponi $36$ da $36 (1) + 36 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{36 (1 - \sin^{2} (t))} (6 \cos (t)) d t$

Passaggio 4.1.6

Applica l'identità pitagorica.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{36 \cos^{2} (t)} (6 \cos (t)) d t$

Passaggio 4.1.7

Riscrivi $36 \cos^{2} (t)$ come ${(6 \cos (t))}^{2}$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{{(6 \cos (t))}^{2}} (6 \cos (t)) d t$

Passaggio 4.1.8

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 6 \cos (t) (6 \cos (t)) d t$

Passaggio 4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Moltiplica $6$ per $6$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 36 \cos (t) \cos (t) d t$

Passaggio 4.2.2

Eleva $\cos (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 36 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Passaggio 4.2.3

Eleva $\cos (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 36 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Passaggio 4.2.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 36 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Passaggio 4.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 36 \cos^{2} (t) d t$

Passaggio 5

Poiché $36$ è costante rispetto a $t$ , sposta $36$ fuori dall'integrale.

$36 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

Passaggio 6

Utilizza la formula di bisezione per riscrivere $\cos^{2} (t)$ come $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$36 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $t$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$36 (\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t)$

Passaggio 8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

$\frac{1}{2}$ e $36$ .

$\frac{36}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 8.2

Elimina il fattore comune di $36$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Scomponi $2$ da $36$ .

$\frac{2 \cdot 18}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 8.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 8.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 8.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{18}{1} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 8.2.2.4

Dividi $18$ per $1$ .

$18 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 9

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$18 (\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Passaggio 10

Applica la regola costante.

$18 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Passaggio 11

Sia $u_{2} = 2 t$ . Allora $d u_{2} = 2 d t$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sia $u_{2} = 2 t$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1

Differenzia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Passaggio 11.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 11.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 11.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 11.2

Sostituisci $t$ con il limite inferiore in $u_{2} = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{2})$

Passaggio 11.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{π}{2}$ nel numeratore.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Passaggio 11.3.2

Elimina il fattore comune.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Passaggio 11.3.3

Riscrivi l'espressione.

$u_{lower} = - π$

Passaggio 11.4

Sostituisci $t$ con il limite superiore in $u_{2} = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Passaggio 11.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.1

Elimina il fattore comune.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Passaggio 11.5.2

Riscrivi l'espressione.

$u_{upper} = π$

Passaggio 11.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = - π$

$u_{upper} = π$

Passaggio 11.7

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$18 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Passaggio 12

$\cos (u_{2})$ e $\frac{1}{2}$ .

$18 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Passaggio 13

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$18 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{- π}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2})$

Passaggio 14

L'integrale di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\sin (u_{2})$ .

$18 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{- π}^{π})$

Passaggio 15

$\frac{1}{2}$ e $\sin (u_{2})]_{- π}^{π}$ .

$18 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{\sin (u_{2})]_{- π}^{π}}{2})$

Passaggio 16

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Calcola $t$ per $\frac{π}{2}$ e per $- \frac{π}{2}$ .

$18 ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{\sin (u_{2})]_{- π}^{π}}{2})$

Passaggio 16.2

Calcola $\sin (u_{2})$ per $π$ e per $- π$ .

$18 ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Passaggio 16.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$18 (\frac{π + π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Passaggio 16.3.2

Somma $π$ e $π$ .

$18 (\frac{2 π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Passaggio 16.3.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$18 (\frac{2 π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Passaggio 16.3.3.2

Dividi $π$ per $1$ .

$18 (π + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

$18 (π + \frac{\sin (π) - \sin (- π)}{2})$

Passaggio 17

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$18 (π + \frac{\sin (0) - \sin (- π)}{2})$

Passaggio 17.1.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$18 (π + \frac{0 - \sin (- π)}{2})$

Passaggio 17.1.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$18 (π + \frac{0 - \sin (0)}{2})$

Passaggio 17.1.4

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$18 (π + \frac{0 - 0}{2})$

Passaggio 17.1.5

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$18 (π + \frac{0 + 0}{2})$

Passaggio 17.1.6

Somma $0$ e $0$ .

$18 (π + \frac{0}{2})$

Passaggio 17.2

Dividi $0$ per $2$ .

$18 (π + 0)$

Passaggio 18

Somma $π$ e $0$ .

$18 π$

Passaggio 19

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$18 π$

Forma decimale:

$56.54866776 \dots$

Passaggio 20