Calcolo Esempi

$\int_{1}^{6} \frac{9}{x} - e^{- x} d x$

Passaggio 1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{1}^{6} \frac{9}{x} d x + \int_{1}^{6} - e^{- x} d x$

Passaggio 2

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , sposta $9$ fuori dall'integrale.

$9 \int_{1}^{6} \frac{1}{x} d x + \int_{1}^{6} - e^{- x} d x$

Passaggio 3

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$9 (\ln (| x |)]_{1}^{6}) + \int_{1}^{6} - e^{- x} d x$

Passaggio 4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$9 (\ln (| x |)]_{1}^{6}) - \int_{1}^{6} e^{- x} d x$

Passaggio 5

Sia $u = - x$ . Allora $d u = - d x$ , quindi $- d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sia $u = - x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Differenzia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 5.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 5.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 5.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = - x$ .

$u_{lower} = - 1 \cdot 1$

Passaggio 5.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$u_{lower} = - 1$

Passaggio 5.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = - x$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 6$

Passaggio 5.5

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$u_{upper} = - 6$

Passaggio 5.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = - 6$

Passaggio 5.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$9 (\ln (| x |)]_{1}^{6}) - \int_{- 1}^{- 6} - e^{u} d u$

Passaggio 6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$9 (\ln (| x |)]_{1}^{6}) - - \int_{- 1}^{- 6} e^{u} d u$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$9 (\ln (| x |)]_{1}^{6}) + 1 \int_{- 1}^{- 6} e^{u} d u$

Passaggio 7.2

Moltiplica $\int_{- 1}^{- 6} e^{u} d u$ per $1$ .

$9 (\ln (| x |)]_{1}^{6}) + \int_{- 1}^{- 6} e^{u} d u$

Passaggio 8

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$9 (\ln (| x |)]_{1}^{6}) + e^{u}]_{- 1}^{- 6}$

Passaggio 9

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Calcola $\ln (| x |)$ per $6$ e per $1$ .

$9 ((\ln (| 6 |)) - \ln (| 1 |)) + e^{u}]_{- 1}^{- 6}$

Passaggio 9.2

Calcola $e^{u}$ per $- 6$ e per $- 1$ .

$9 ((\ln (| 6 |)) - \ln (| 1 |)) + (e^{- 6}) - e^{- 1}$

Passaggio 9.3

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$9 (\ln (| 6 |) - \ln (| 1 |)) + e^{- 6} - e^{- 1}$

Passaggio 10

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$9 \ln (\frac{| 6 |}{| 1 |}) + e^{- 6} - e^{- 1}$

Passaggio 11

Semplifica.

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Passaggio 11.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $6$ è $6$ .

$9 \ln (\frac{6}{| 1 |}) + e^{- 6} - e^{- 1}$

Passaggio 11.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$9 \ln (\frac{6}{1}) + e^{- 6} - e^{- 1}$

Passaggio 11.3

Dividi $6$ per $1$ .

$9 \ln (6) + e^{- 6} - e^{- 1}$

Passaggio 11.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 \ln (6) + e^{- 6} - \frac{1}{e}$

Passaggio 12

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$9 \ln (6) + e^{- 6} - \frac{1}{e}$

Forma decimale:

$15.76043453 \dots$

Passaggio 13