Calcolo Esempi

$\int_{1}^{64} \frac{3 + \sqrt[3]{x}}{\sqrt{x}} d x$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x}$ come $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int_{1}^{64} \frac{3 + x^{\frac{1}{3}}}{\sqrt{x}} d x$

Passaggio 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{64} \frac{3 + x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 3

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int_{1}^{64} (3 + x^{\frac{1}{3}}) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Passaggio 4

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 4.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{64} (3 + x^{\frac{1}{3}}) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Passaggio 4.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\int_{1}^{64} (3 + x^{\frac{1}{3}}) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Passaggio 4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int_{1}^{64} (3 + x^{\frac{1}{3}}) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int_{1}^{64} 3 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{3}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 5.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int_{1}^{64} 3 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{3} - \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 5.3

Per scrivere $\frac{1}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\int_{1}^{64} 3 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 5.4

Per scrivere $- \frac{1}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\int_{1}^{64} 3 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}} d x$

Passaggio 5.5

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 5.5.1

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\int_{1}^{64} 3 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}} d x$

Passaggio 5.5.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\int_{1}^{64} 3 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{2}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}} d x$

Passaggio 5.5.3

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\int_{1}^{64} 3 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{2}{6} - \frac{3}{2 \cdot 3}} d x$

Passaggio 5.5.4

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\int_{1}^{64} 3 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{2}{6} - \frac{3}{6}} d x$

Passaggio 5.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int_{1}^{64} 3 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{2 - 3}{6}} d x$

Passaggio 5.7

Sottrai $3$ da $2$ .

$\int_{1}^{64} 3 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{- 1}{6}} d x$

Passaggio 6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int_{1}^{64} 3 x^{- \frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{6}} d x$

Passaggio 7

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{1}^{64} 3 x^{- \frac{1}{2}} d x + \int_{1}^{64} x^{- \frac{1}{6}} d x$

Passaggio 8

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$3 \int_{1}^{64} x^{- \frac{1}{2}} d x + \int_{1}^{64} x^{- \frac{1}{6}} d x$

Passaggio 9

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{64}) + \int_{1}^{64} x^{- \frac{1}{6}} d x$

Passaggio 10

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{- \frac{1}{6}}$ rispetto a $x$ è $\frac{6}{5} x^{\frac{5}{6}}$ .

$3 (2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{64}) + \frac{6}{5} x^{\frac{5}{6}}]_{1}^{64}$

Passaggio 11

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 11.1

Calcola $2 x^{\frac{1}{2}}$ per $64$ e per $1$ .

$3 ((2 \cdot 64^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{6}{5} x^{\frac{5}{6}}]_{1}^{64}$

Passaggio 11.2

Calcola $\frac{6}{5} x^{\frac{5}{6}}$ per $64$ e per $1$ .

$3 (2 \cdot 64^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{6}{5} \cdot 64^{\frac{5}{6}} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

Passaggio 11.3

Semplifica.

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Passaggio 11.3.1

Riscrivi $64$ come $8^{2}$ .

$3 (2 \cdot {(8^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{6}{5} \cdot 64^{\frac{5}{6}} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

Passaggio 11.3.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (2 \cdot 8^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{6}{5} \cdot 64^{\frac{5}{6}} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

Passaggio 11.3.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 11.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$3 (2 \cdot 8^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{6}{5} \cdot 64^{\frac{5}{6}} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

Passaggio 11.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$3 (2 \cdot 8^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{6}{5} \cdot 64^{\frac{5}{6}} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

Passaggio 11.3.4

Calcola l'esponente.

$3 (2 \cdot 8 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{6}{5} \cdot 64^{\frac{5}{6}} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

Passaggio 11.3.5

Moltiplica $2$ per $8$ .

$3 (16 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{6}{5} \cdot 64^{\frac{5}{6}} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

Passaggio 11.3.6

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$3 (16 - 2 \cdot 1) + \frac{6}{5} \cdot 64^{\frac{5}{6}} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

Passaggio 11.3.7

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$3 (16 - 2) + \frac{6}{5} \cdot 64^{\frac{5}{6}} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

Passaggio 11.3.8

Sottrai $2$ da $16$ .

$3 \cdot 14 + \frac{6}{5} \cdot 64^{\frac{5}{6}} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

Passaggio 11.3.9

Moltiplica $3$ per $14$ .

$42 + \frac{6}{5} \cdot 64^{\frac{5}{6}} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

Passaggio 11.3.10

Riscrivi $64$ come $2^{6}$ .

$42 + \frac{6}{5} \cdot {(2^{6})}^{\frac{5}{6}} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

Passaggio 11.3.11

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$42 + \frac{6}{5} \cdot 2^{6 (\frac{5}{6})} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

Passaggio 11.3.12

Elimina il fattore comune di $6$ .

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Passaggio 11.3.12.1

Elimina il fattore comune.

$42 + \frac{6}{5} \cdot 2^{6 (\frac{5}{6})} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

Passaggio 11.3.12.2

Riscrivi l'espressione.

$42 + \frac{6}{5} \cdot 2^{5} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

Passaggio 11.3.13

Eleva $2$ alla potenza di $5$ .

$42 + \frac{6}{5} \cdot 32 - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

Passaggio 11.3.14

$\frac{6}{5}$ e $32$ .

$42 + \frac{6 \cdot 32}{5} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

Passaggio 11.3.15

Moltiplica $6$ per $32$ .

$42 + \frac{192}{5} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

Passaggio 11.3.16

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$42 + \frac{192}{5} - \frac{6}{5} \cdot 1$

Passaggio 11.3.17

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$42 + \frac{192}{5} - \frac{6}{5}$

Passaggio 11.3.18

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$42 + \frac{192 - 6}{5}$

Passaggio 11.3.19

Sottrai $6$ da $192$ .

$42 + \frac{186}{5}$

Passaggio 11.3.20

Per scrivere $42$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$42 \cdot \frac{5}{5} + \frac{186}{5}$

Passaggio 11.3.21

$42$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{42 \cdot 5}{5} + \frac{186}{5}$

Passaggio 11.3.22

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{42 \cdot 5 + 186}{5}$

Passaggio 11.3.23

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 11.3.23.1

Moltiplica $42$ per $5$ .

$\frac{210 + 186}{5}$

Passaggio 11.3.23.2

Somma $210$ e $186$ .

$\frac{396}{5}$

Passaggio 12

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{396}{5}$

Forma decimale:

$79.2$

Forma numero misto:

$79 \frac{1}{5}$

Passaggio 13