Calcolo Esempi

$\int_{1}^{7} \frac{10 x^{2} + 9}{\sqrt{x}} d x$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{7} \frac{10 x^{2} + 9}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 2

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int_{1}^{7} (10 x^{2} + 9) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Passaggio 3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{7} (10 x^{2} + 9) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Passaggio 3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\int_{1}^{7} (10 x^{2} + 9) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Passaggio 3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int_{1}^{7} (10 x^{2} + 9) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 4

Espandi $(10 x^{2} + 9) x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int_{1}^{7} 10 x^{2} x^{- \frac{1}{2}} + 9 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 4.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int_{1}^{7} 10 x^{2 - \frac{1}{2}} + 9 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 4.3

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\int_{1}^{7} 10 x^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 9 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 4.4

$2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\int_{1}^{7} 10 x^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} + 9 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 4.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int_{1}^{7} 10 x^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}} + 9 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 4.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.6.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\int_{1}^{7} 10 x^{\frac{4 - 1}{2}} + 9 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 4.6.2

Sottrai $1$ da $4$ .

$\int_{1}^{7} 10 x^{\frac{3}{2}} + 9 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{1}^{7} 10 x^{\frac{3}{2}} d x + \int_{1}^{7} 9 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 6

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , sposta $10$ fuori dall'integrale.

$10 \int_{1}^{7} x^{\frac{3}{2}} d x + \int_{1}^{7} 9 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 7

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$10 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}]_{1}^{7}) + \int_{1}^{7} 9 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 8

$\frac{2}{5}$ e $x^{\frac{5}{2}}$ .

$10 (\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{7}) + \int_{1}^{7} 9 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 9

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , sposta $9$ fuori dall'integrale.

$10 (\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{7}) + 9 \int_{1}^{7} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 10

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$10 (\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{7}) + 9 (2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{7})$

Passaggio 11

Semplifica la risposta.

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Passaggio 11.1

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 11.1.1

Calcola $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$ per $7$ e per $1$ .

$10 ((\frac{2 \cdot 7^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 9 (2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{7})$

Passaggio 11.1.2

Calcola $2 x^{\frac{1}{2}}$ per $7$ e per $1$ .

$10 (\frac{2 \cdot 7^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 9 (2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 11.1.3

Semplifica.

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Passaggio 11.1.3.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$10 (\frac{2 \cdot 7^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1}{5}) + 9 (2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 11.1.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$10 (\frac{2 \cdot 7^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2}{5}) + 9 (2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 11.1.3.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$10 (\frac{2 \cdot 7^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2}{5}) + 9 (2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1)$

Passaggio 11.1.3.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$10 (\frac{2 \cdot 7^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2}{5}) + 9 (2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} - 2)$

Passaggio 11.2

Semplifica.

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Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 11.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$10 \frac{2 \cdot 7^{\frac{5}{2}}}{5} + 10 (- \frac{2}{5}) + 9 (2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} - 2)$

Passaggio 11.2.1.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

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Passaggio 11.2.1.2.1

Scomponi $5$ da $10$ .

$5 (2) \frac{2 \cdot 7^{\frac{5}{2}}}{5} + 10 (- \frac{2}{5}) + 9 (2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} - 2)$

Passaggio 11.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$5 \cdot 2 \frac{2 \cdot 7^{\frac{5}{2}}}{5} + 10 (- \frac{2}{5}) + 9 (2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} - 2)$

Passaggio 11.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$2 (2 \cdot 7^{\frac{5}{2}}) + 10 (- \frac{2}{5}) + 9 (2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} - 2)$

Passaggio 11.2.1.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 \cdot 7^{\frac{5}{2}} + 10 (- \frac{2}{5}) + 9 (2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} - 2)$

Passaggio 11.2.1.4

Elimina il fattore comune di $5$ .

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Passaggio 11.2.1.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{2}{5}$ nel numeratore.

$4 \cdot 7^{\frac{5}{2}} + 10 (\frac{- 2}{5}) + 9 (2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} - 2)$

Passaggio 11.2.1.4.2

Scomponi $5$ da $10$ .

$4 \cdot 7^{\frac{5}{2}} + 5 (2) \frac{- 2}{5} + 9 (2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} - 2)$

Passaggio 11.2.1.4.3

Elimina il fattore comune.

$4 \cdot 7^{\frac{5}{2}} + 5 \cdot 2 \frac{- 2}{5} + 9 (2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} - 2)$

Passaggio 11.2.1.4.4

Riscrivi l'espressione.

$4 \cdot 7^{\frac{5}{2}} + 2 \cdot - 2 + 9 (2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} - 2)$

Passaggio 11.2.1.5

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$4 \cdot 7^{\frac{5}{2}} - 4 + 9 (2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} - 2)$

Passaggio 11.2.1.6

Applica la proprietà distributiva.

$4 \cdot 7^{\frac{5}{2}} - 4 + 9 (2 \cdot 7^{\frac{1}{2}}) + 9 \cdot - 2$

Passaggio 11.2.1.7

Moltiplica $2$ per $9$ .

$4 \cdot 7^{\frac{5}{2}} - 4 + 18 \cdot 7^{\frac{1}{2}} + 9 \cdot - 2$

Passaggio 11.2.1.8

Moltiplica $9$ per $- 2$ .

$4 \cdot 7^{\frac{5}{2}} - 4 + 18 \cdot 7^{\frac{1}{2}} - 18$

Passaggio 11.2.2

Sottrai $18$ da $- 4$ .

$4 \cdot 7^{\frac{5}{2}} + 18 \cdot 7^{\frac{1}{2}} - 22$

Passaggio 12

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$4 \cdot 7^{\frac{5}{2}} + 18 \cdot 7^{\frac{1}{2}} - 22$

Forma decimale:

$544.19078056 \dots$

Passaggio 13