Calcolo Esempi

$\int_{1}^{5} {(7 - \frac{4}{y})}^{2} d y$

Passaggio 1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi ${(7 - \frac{4}{y})}^{2}$ come $(7 - \frac{4}{y}) (7 - \frac{4}{y})$ .

$\int_{1}^{5} (7 - \frac{4}{y}) (7 - \frac{4}{y}) d y$

Passaggio 1.2

Espandi $(7 - \frac{4}{y}) (7 - \frac{4}{y})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int_{1}^{5} 7 (7 - \frac{4}{y}) - \frac{4}{y} (7 - \frac{4}{y}) d y$

Passaggio 1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\int_{1}^{5} 7 \cdot 7 + 7 (- \frac{4}{y}) - \frac{4}{y} (7 - \frac{4}{y}) d y$

Passaggio 1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\int_{1}^{5} 7 \cdot 7 + 7 (- \frac{4}{y}) - \frac{4}{y} \cdot 7 - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

Passaggio 1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Moltiplica $7$ per $7$ .

$\int_{1}^{5} 49 + 7 (- \frac{4}{y}) - \frac{4}{y} \cdot 7 - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

Passaggio 1.3.1.2

Moltiplica $7 (- \frac{4}{y})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $7$ .

$\int_{1}^{5} 49 - 7 \frac{4}{y} - \frac{4}{y} \cdot 7 - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

Passaggio 1.3.1.2.2

$- 7$ e $\frac{4}{y}$ .

$\int_{1}^{5} 49 + \frac{- 7 \cdot 4}{y} - \frac{4}{y} \cdot 7 - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

Passaggio 1.3.1.2.3

Moltiplica $- 7$ per $4$ .

$\int_{1}^{5} 49 + \frac{- 28}{y} - \frac{4}{y} \cdot 7 - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

Passaggio 1.3.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{4}{y} \cdot 7 - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

Passaggio 1.3.1.4

Moltiplica $- \frac{4}{y} \cdot 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.4.1

Moltiplica $7$ per $- 1$ .

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - 7 \frac{4}{y} - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

Passaggio 1.3.1.4.2

$- 7$ e $\frac{4}{y}$ .

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} + \frac{- 7 \cdot 4}{y} - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

Passaggio 1.3.1.4.3

Moltiplica $- 7$ per $4$ .

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} + \frac{- 28}{y} - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

Passaggio 1.3.1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{28}{y} - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

Passaggio 1.3.1.6

Moltiplica $- \frac{4}{y} (- \frac{4}{y})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{28}{y} + 1 \frac{4}{y} \frac{4}{y} d y$

Passaggio 1.3.1.6.2

Moltiplica $\frac{4}{y}$ per $1$ .

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{28}{y} + \frac{4}{y} \cdot \frac{4}{y} d y$

Passaggio 1.3.1.6.3

Moltiplica $\frac{4}{y}$ per $\frac{4}{y}$ .

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{28}{y} + \frac{4 \cdot 4}{y \cdot y} d y$

Passaggio 1.3.1.6.4

Moltiplica $4$ per $4$ .

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{28}{y} + \frac{16}{y \cdot y} d y$

Passaggio 1.3.1.6.5

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{28}{y} + \frac{16}{y^{1} y} d y$

Passaggio 1.3.1.6.6

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{28}{y} + \frac{16}{y^{1} y^{1}} d y$

Passaggio 1.3.1.6.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{28}{y} + \frac{16}{y^{1 + 1}} d y$

Passaggio 1.3.1.6.8

Somma $1$ e $1$ .

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{28}{y} + \frac{16}{y^{2}} d y$

Passaggio 1.3.2

Sottrai $\frac{28}{y}$ da $- \frac{28}{y}$ .

$\int_{1}^{5} 49 - 2 \frac{28}{y} + \frac{16}{y^{2}} d y$

Passaggio 1.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Moltiplica $- 2 \frac{28}{y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

$- 2$ e $\frac{28}{y}$ .

$\int_{1}^{5} 49 + \frac{- 2 \cdot 28}{y} + \frac{16}{y^{2}} d y$

Passaggio 1.4.1.2

Moltiplica $- 2$ per $28$ .

$\int_{1}^{5} 49 + \frac{- 56}{y} + \frac{16}{y^{2}} d y$

Passaggio 1.4.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{56}{y} + \frac{16}{y^{2}} d y$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{1}^{5} 49 d y + \int_{1}^{5} - \frac{56}{y} d y + \int_{1}^{5} \frac{16}{y^{2}} d y$

Passaggio 3

Applica la regola costante.

$49 y]_{1}^{5} + \int_{1}^{5} - \frac{56}{y} d y + \int_{1}^{5} \frac{16}{y^{2}} d y$

Passaggio 4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$49 y]_{1}^{5} - \int_{1}^{5} \frac{56}{y} d y + \int_{1}^{5} \frac{16}{y^{2}} d y$

Passaggio 5

Poiché $56$ è costante rispetto a $y$ , sposta $56$ fuori dall'integrale.

$49 y]_{1}^{5} - (56 \int_{1}^{5} \frac{1}{y} d y) + \int_{1}^{5} \frac{16}{y^{2}} d y$

Passaggio 6

Moltiplica $56$ per $- 1$ .

$49 y]_{1}^{5} - 56 \int_{1}^{5} \frac{1}{y} d y + \int_{1}^{5} \frac{16}{y^{2}} d y$

Passaggio 7

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$49 y]_{1}^{5} - 56 (\ln (| y |)]_{1}^{5}) + \int_{1}^{5} \frac{16}{y^{2}} d y$

Passaggio 8

Poiché $16$ è costante rispetto a $y$ , sposta $16$ fuori dall'integrale.

$49 y]_{1}^{5} - 56 (\ln (| y |)]_{1}^{5}) + 16 \int_{1}^{5} \frac{1}{y^{2}} d y$

Passaggio 9

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sposta $y^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$49 y]_{1}^{5} - 56 (\ln (| y |)]_{1}^{5}) + 16 \int_{1}^{5} {(y^{2})}^{- 1} d y$

Passaggio 9.2

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$49 y]_{1}^{5} - 56 (\ln (| y |)]_{1}^{5}) + 16 \int_{1}^{5} y^{2 \cdot - 1} d y$

Passaggio 9.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$49 y]_{1}^{5} - 56 (\ln (| y |)]_{1}^{5}) + 16 \int_{1}^{5} y^{- 2} d y$

Passaggio 10

Secondo la regola di potenza, l'intero di $y^{- 2}$ rispetto a $y$ è $- y^{- 1}$ .

$49 y]_{1}^{5} - 56 (\ln (| y |)]_{1}^{5}) + 16 (- y^{- 1}]_{1}^{5})$

Passaggio 11

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1

Calcola $49 y$ per $5$ e per $1$ .

$(49 \cdot 5) - 49 \cdot 1 - 56 (\ln (| y |)]_{1}^{5}) + 16 (- y^{- 1}]_{1}^{5})$

Passaggio 11.1.2

Calcola $\ln (| y |)$ per $5$ e per $1$ .

$49 \cdot 5 - 49 \cdot 1 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 (- y^{- 1}]_{1}^{5})$

Passaggio 11.1.3

Calcola $- y^{- 1}$ per $5$ e per $1$ .

$49 \cdot 5 - 49 \cdot 1 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 ((- 5^{- 1}) + 1^{- 1})$

Passaggio 11.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.4.1

Moltiplica $49$ per $5$ .

$245 - 49 \cdot 1 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 ((- 5^{- 1}) + 1^{- 1})$

Passaggio 11.1.4.2

Moltiplica $- 49$ per $1$ .

$245 - 49 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 ((- 5^{- 1}) + 1^{- 1})$

Passaggio 11.1.4.3

Sottrai $49$ da $245$ .

$196 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 ((- 5^{- 1}) + 1^{- 1})$

Passaggio 11.1.4.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$196 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 (- \frac{1}{5} + 1^{- 1})$

Passaggio 11.1.4.5

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$196 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 (- \frac{1}{5} + 1)$

Passaggio 11.1.4.6

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$196 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 (- \frac{1}{5} + \frac{5}{5})$

Passaggio 11.1.4.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$196 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 \frac{- 1 + 5}{5}$

Passaggio 11.1.4.8

Somma $- 1$ e $5$ .

$196 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 (\frac{4}{5})$

Passaggio 11.1.4.9

$16$ e $\frac{4}{5}$ .

$196 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + \frac{16 \cdot 4}{5}$

Passaggio 11.1.4.10

Moltiplica $16$ per $4$ .

$196 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + \frac{64}{5}$

Passaggio 11.1.4.11

Per scrivere $196$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$196 \cdot \frac{5}{5} + \frac{64}{5} - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 11.1.4.12

$196$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{196 \cdot 5}{5} + \frac{64}{5} - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 11.1.4.13

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{196 \cdot 5 + 64}{5} - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 11.1.4.14

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.4.14.1

Moltiplica $196$ per $5$ .

$\frac{980 + 64}{5} - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 11.1.4.14.2

Somma $980$ e $64$ .

$\frac{1044}{5} - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 11.1.4.15

Per scrivere $- 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1044}{5} - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) \cdot \frac{5}{5}$

Passaggio 11.1.4.16

$- 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1044}{5} + \frac{- 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 5}{5}$

Passaggio 11.1.4.17

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1044 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 5}{5}$

Passaggio 11.1.4.18

Moltiplica $5$ per $- 56$ .

$\frac{1044 - 280 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))}{5}$

Passaggio 11.2

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1044 - 280 \ln (\frac{| 5 |}{| 1 |})}{5}$

Passaggio 11.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $5$ è $5$ .

$\frac{1044 - 280 \ln (\frac{5}{| 1 |})}{5}$

Passaggio 11.3.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{1044 - 280 \ln (\frac{5}{1})}{5}$

Passaggio 11.3.3

Dividi $5$ per $1$ .

$\frac{1044 - 280 \ln (5)}{5}$

Passaggio 12

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{1044 - 280 \ln (5)}{5}$

Forma decimale:

$118.67147690 \dots$

Passaggio 13