Calcolo Esempi

$\int_{1}^{5} \ln (x) d x$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \ln (x)$ e $d v = 1$ .

$\ln (x) x]_{1}^{5} - \int_{1}^{5} x \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$x$ e $\frac{1}{x}$ .

$\ln (x) x]_{1}^{5} - \int_{1}^{5} \frac{x}{x} d x$

Passaggio 2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (x) x]_{1}^{5} - \int_{1}^{5} \frac{x}{x} d x$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (x) x]_{1}^{5} - \int_{1}^{5} d x$

Passaggio 3

Applica la regola costante.

$\ln (x) x]_{1}^{5} - (x]_{1}^{5})$

Passaggio 4

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola $\ln (x) x$ per $5$ e per $1$ .

$(\ln (5) \cdot 5) - \ln (1) \cdot 1 - (x]_{1}^{5})$

Passaggio 4.2

Calcola $x$ per $5$ e per $1$ .

$(\ln (5) \cdot 5) - \ln (1) \cdot 1 - ((5) - 1)$

Passaggio 4.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sposta $5$ alla sinistra di $\ln (5)$ .

$5 \cdot \ln (5) - \ln (1) \cdot 1 - ((5) - 1)$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$5 \ln (5) - \ln (1) - ((5) - 1)$

Passaggio 4.3.3

Sottrai $1$ da $5$ .

$5 \ln (5) - \ln (1) - 1 \cdot 4$

Passaggio 4.3.4

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$5 \ln (5) - \ln (1) - 4$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$5 \ln (5) - 0 - 4$

Passaggio 5.1.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$5 \ln (5) + 0 - 4$

Passaggio 5.2

Somma $5 \ln (5)$ e $0$ .

$5 \ln (5) - 4$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$5 \ln (5) - 4$

Forma decimale:

$4.04718956 \dots$