Calcolo Esempi

$t \sqrt{5 - t}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5 - t}$ come ${(5 - t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [t {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ è $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ dove $f (t) = t$ e $g (t) = {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$t \frac{d}{d t} [{(5 - t)}^{\frac{1}{2}}] + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ e $g (t) = 5 - t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $5 - t$ .

$t (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [5 - t]) + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$t (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [5 - t]) + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $5 - t$ .

$t (\frac{1}{2} {(5 - t)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [5 - t]) + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$t (\frac{1}{2} {(5 - t)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [5 - t]) + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$t (\frac{1}{2} {(5 - t)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [5 - t]) + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$t (\frac{1}{2} {(5 - t)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [5 - t]) + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$t (\frac{1}{2} {(5 - t)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [5 - t]) + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$t (\frac{1}{2} {(5 - t)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [5 - t]) + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 8

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$t (\frac{1}{2} {(5 - t)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [5 - t]) + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 8.2

$\frac{1}{2}$ e ${(5 - t)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$t (\frac{{(5 - t)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [5 - t]) + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 8.3

Sposta ${(5 - t)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$t (\frac{1}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [5 - t]) + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 8.4

$\frac{1}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}}$ e $t$ .

$\frac{t}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [5 - t] + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 9

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 - t$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$\frac{t}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [- t]) + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 10

Poiché $5$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $5$ rispetto a $t$ è $0$ .

$\frac{t}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d t} [- t]) + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 11

Somma $0$ e $\frac{d}{d t} [- t]$ .

$\frac{t}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [- t] + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 12

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- t$ rispetto a $t$ è $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{t}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d t} [t]) + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 13

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{t}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}} (- 1 \cdot 1) + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 14

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{t}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1 + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 14.2

$\frac{t}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}}$ e $- 1$ .

$\frac{t \cdot - 1}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 14.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 14.3.1

Sposta $- 1$ alla sinistra di $t$ .

$\frac{- 1 \cdot t}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 14.3.2

Riscrivi $- 1 t$ come $- t$ .

$\frac{- t}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 14.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{t}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 15

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{t}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Passaggio 16

Moltiplica ${(5 - t)}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$- \frac{t}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 17

Per scrivere ${(5 - t)}^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{t}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 18

${(5 - t)}^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{t}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(5 - t)}^{\frac{1}{2}} (2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 19

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- t + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} (2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 20

Moltiplica ${(5 - t)}^{\frac{1}{2}}$ per ${(5 - t)}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 20.1

Sposta ${(5 - t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- t + {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} {(5 - t)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 20.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- t + {(5 - t)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 20.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- t + {(5 - t)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 20.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- t + {(5 - t)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 20.5

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{- t + {(5 - t)}^{1} \cdot 2}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 21

Semplifica ${(5 - t)}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{- t + (5 - t) \cdot 2}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 22

Sposta $2$ alla sinistra di $5 - t$ .

$\frac{- t + 2 \cdot (5 - t)}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 23

Semplifica.

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Passaggio 23.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- t + 2 \cdot 5 + 2 (- t)}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 23.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 23.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 23.2.1.1

Moltiplica $2$ per $5$ .

$\frac{- t + 10 + 2 (- t)}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 23.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{- t + 10 - 2 t}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 23.2.2

Sottrai $2 t$ da $- t$ .

$\frac{- 3 t + 10}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 23.3

Scomponi $- 1$ da $- 3 t$ .

$\frac{- (3 t) + 10}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 23.4

Riscrivi $10$ come $- 1 (- 10)$ .

$\frac{- (3 t) - 1 (- 10)}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 23.5

Scomponi $- 1$ da $- (3 t) - 1 (- 10)$ .

$\frac{- (3 t - 10)}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 23.6

Riscrivi $- (3 t - 10)$ come $- 1 (3 t - 10)$ .

$\frac{- 1 (3 t - 10)}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 23.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{3 t - 10}{2 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}}$