Calcolo Esempi

$\int y \sqrt{2 y + 2} d y$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = y$ e $d v = \sqrt{2 y + 2}$ .

$y (\frac{1}{3} {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{3} {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} d y$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$\frac{1}{3}$ e ${(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}$ .

$y \frac{{(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{1}{3} {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} d y$

Passaggio 2.2

$y$ e $\frac{{(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{1}{3} {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} d y$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $y$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{1}{3} \int {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} d y)$

Passaggio 4

Sia $u = 2 y + 2$ . Allora $d u = 2 d y$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sia $u = 2 y + 2$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

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Passaggio 4.1.1

Differenzia $2 y + 2$ .

$\frac{d}{d y} [2 y + 2]$

Passaggio 4.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 y + 2$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [2]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

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Passaggio 4.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 y$ rispetto a $y$ è $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [2]$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + \frac{d}{d y} [2]$

Passaggio 4.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 4.1.4.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2$ rispetto a $y$ è $0$ .

$2 + 0$

Passaggio 4.1.4.2

Somma $2$ e $0$ .

$2$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{3} \int u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} d u$

Passaggio 5

$u^{\frac{3}{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{3}$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2 \cdot 3} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Passaggio 7.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{6} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Passaggio 8

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{6} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$

Passaggio 9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Riscrivi $\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{6} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$ come $\frac{1}{3} y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$ .

$\frac{1}{3} y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Passaggio 9.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

$\frac{1}{3}$ e $y$ .

$\frac{y}{3} {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Passaggio 9.2.2

$\frac{y}{3}$ e ${(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Passaggio 9.2.3

Moltiplica $\frac{2}{5}$ per $\frac{1}{6}$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{5 \cdot 6} u^{\frac{5}{2}} + C$

Passaggio 9.2.4

Moltiplica $5$ per $6$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{30} u^{\frac{5}{2}} + C$

Passaggio 9.2.5

Elimina il fattore comune di $2$ e $30$ .

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Passaggio 9.2.5.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 (1)}{30} u^{\frac{5}{2}} + C$

Passaggio 9.2.5.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 9.2.5.2.1

Scomponi $2$ da $30$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 15} u^{\frac{5}{2}} + C$

Passaggio 9.2.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 15} u^{\frac{5}{2}} + C$

Passaggio 9.2.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{15} u^{\frac{5}{2}} + C$

Passaggio 9.2.6

Per scrivere $- \frac{1}{15} u^{\frac{5}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{15} u^{\frac{5}{2}} \cdot \frac{3}{3} + C$

Passaggio 9.2.7

$- \frac{1}{15} u^{\frac{5}{2}}$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- \frac{1}{15} u^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{3} + C$

Passaggio 9.2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{15} u^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{3} + C$

Passaggio 9.2.9

$u^{\frac{5}{2}}$ e $\frac{1}{15}$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{15} \cdot 3}{3} + C$

Passaggio 9.2.10

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} - 3 \frac{u^{\frac{5}{2}}}{15}}{3} + C$

Passaggio 9.2.11

$- 3$ e $\frac{u^{\frac{5}{2}}}{15}$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{3} + C$

Passaggio 9.2.12

Scomponi $3$ da $- 3 u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- u^{\frac{5}{2}})}{15}}{3} + C$

Passaggio 9.2.13

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.13.1

Scomponi $3$ da $15$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- u^{\frac{5}{2}})}{3 (5)}}{3} + C$

Passaggio 9.2.13.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- u^{\frac{5}{2}})}{3 \cdot 5}}{3} + C$

Passaggio 9.2.13.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

Passaggio 9.2.14

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

Passaggio 9.2.15

Per scrivere $y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{5}{5} - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

Passaggio 9.2.16

$y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{5} - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

Passaggio 9.2.17

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5 - u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

Passaggio 9.2.18

Sposta $5$ alla sinistra di $y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{\frac{5 \cdot (y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}) - u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

Passaggio 9.2.19

Riscrivi $\frac{\frac{5 y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} - u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3}$ come un prodotto.

$\frac{5 y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} - u^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{1}{3} + C$

Passaggio 9.2.20

Moltiplica $\frac{5 y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} - u^{\frac{5}{2}}}{5}$ per $\frac{1}{3}$ .

$\frac{5 y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} - u^{\frac{5}{2}}}{5 \cdot 3} + C$

Passaggio 9.2.21

Moltiplica $5$ per $3$ .

$\frac{5 y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} - u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Passaggio 10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 y + 2$ .

$\frac{5 y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} - {(2 y + 2)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Passaggio 11

Riordina i termini.

$\frac{1}{15} (5 y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} - {(2 y + 2)}^{\frac{5}{2}}) + C$