Calcolo Esempi

$f (x) = 2 \ln (\frac{x}{2} + 1)$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = 2 \ln (\frac{x}{2} + 1)$ come un'equazione.

$y = 2 \ln (\frac{x}{2} + 1)$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = 2 \ln (\frac{y}{2} + 1)$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $2 \ln (\frac{y}{2} + 1) = x$ .

$2 \ln (\frac{y}{2} + 1) = x$

Passaggio 3.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \ln (\frac{y}{2} + 1) = x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \ln (\frac{y}{2} + 1) = x$ .

$\frac{2 \ln (\frac{y}{2} + 1)}{2} = \frac{x}{2}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \ln (\frac{y}{2} + 1)}{2} = \frac{x}{2}$

Passaggio 3.2.2.1.2

Dividi $\ln (\frac{y}{2} + 1)$ per $1$ .

$\ln (\frac{y}{2} + 1) = \frac{x}{2}$

Passaggio 3.3

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (\frac{y}{2} + 1)} = e^{\frac{x}{2}}$

Passaggio 3.4

Riscrivi $\ln (\frac{y}{2} + 1) = \frac{x}{2}$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{x}{2}} = \frac{y}{2} + 1$

Passaggio 3.5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{y}{2} + 1 = e^{\frac{x}{2}}$ .

$\frac{y}{2} + 1 = e^{\frac{x}{2}}$

Passaggio 3.5.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{y}{2} = e^{\frac{x}{2}} - 1$

Passaggio 3.5.3

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 \frac{y}{2} = 2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)$

Passaggio 3.5.4

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{y}{2} = 2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)$

Passaggio 3.5.4.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y = 2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)$

Passaggio 3.5.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.2.1

Semplifica $2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = 2 e^{\frac{x}{2}} + 2 \cdot - 1$

Passaggio 3.5.4.2.1.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$y = 2 e^{\frac{x}{2}} - 2$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = 2 e^{\frac{x}{2}} - 2$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = 2 e^{\frac{x}{2}} - 2$ è l'inverso di $f (x) = 2 \ln (\frac{x}{2} + 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1))$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = 2 e^{\frac{2 \ln (\frac{x}{2} + 1)}{2}} - 2$

Passaggio 5.2.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = 2 e^{\frac{2 \ln (\frac{x}{2} + 1)}{2}} - 2$

Passaggio 5.2.3.1.2

Dividi $\ln (\frac{x}{2} + 1)$ per $1$ .

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = 2 e^{\ln (\frac{x}{2} + 1)} - 2$

Passaggio 5.2.3.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = 2 (\frac{x}{2} + 1) - 2$

Passaggio 5.2.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 \cdot 1 - 2$

Passaggio 5.2.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 \cdot 1 - 2$

Passaggio 5.2.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = x + 2 \cdot 1 - 2$

Passaggio 5.2.3.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = x + 2 - 2$

Passaggio 5.2.4

Combina i termini opposti in $x + 2 - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Sottrai $2$ da $2$ .

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = x + 0$

Passaggio 5.2.4.2

Somma $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2)$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{2 e^{\frac{x}{2}} - 2}{2} + 1)$

Passaggio 5.3.3

Elimina il fattore comune di $2 e^{\frac{x}{2}} - 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Scomponi $2$ da $2 e^{\frac{x}{2}}$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{2 (e^{\frac{x}{2}}) - 2}{2} + 1)$

Passaggio 5.3.3.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{2 (e^{\frac{x}{2}}) + 2 \cdot - 1}{2} + 1)$

Passaggio 5.3.3.3

Scomponi $2$ da $2 (e^{\frac{x}{2}}) + 2 (- 1)$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)}{2} + 1)$

Passaggio 5.3.3.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.4.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)}{2 (1)} + 1)$

Passaggio 5.3.3.4.2

Elimina il fattore comune.

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)}{2 \cdot 1} + 1)$

Passaggio 5.3.3.4.3

Riscrivi l'espressione.

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{e^{\frac{x}{2}} - 1}{1} + 1)$

Passaggio 5.3.3.4.4

Dividi $e^{\frac{x}{2}} - 1$ per $1$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (e^{\frac{x}{2}} - 1 + 1)$

Passaggio 5.3.4

Combina i termini opposti in $e^{\frac{x}{2}} - 1 + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Somma $- 1$ e $1$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (e^{\frac{x}{2}} + 0)$

Passaggio 5.3.4.2

Somma $e^{\frac{x}{2}}$ e $0$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (e^{\frac{x}{2}})$

Passaggio 5.3.5

Usa le regole del logaritmo per togliere $\frac{x}{2}$ dall'esponente.

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 (\frac{x}{2} \cdot \ln (e))$

Passaggio 5.3.6

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 (\frac{x}{2} \cdot 1)$

Passaggio 5.3.7

Moltiplica $\frac{x}{2}$ per $1$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 (\frac{x}{2})$

Passaggio 5.3.8

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.8.1

Elimina il fattore comune.

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 (\frac{x}{2})$

Passaggio 5.3.8.2

Riscrivi l'espressione.

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = 2 e^{\frac{x}{2}} - 2$ è l'inverso di $f (x) = 2 \ln (\frac{x}{2} + 1)$ .

$f^{- 1} (x) = 2 e^{\frac{x}{2}} - 2$