Calcolo Esempi

$\int - 7 x e^{4 x - 2} d x$

Passaggio 1

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 7$ fuori dall'integrale.

$- 7 \int x e^{4 x - 2} d x$

Passaggio 2

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = e^{4 x - 2}$ .

$- 7 (x (\frac{1}{4} e^{4 x - 2}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x - 2} d x)$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

$\frac{1}{4}$ e $e^{4 x - 2}$ .

$- 7 (x \frac{e^{4 x - 2}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x - 2} d x)$

Passaggio 3.2

$x$ e $\frac{e^{4 x - 2}}{4}$ .

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x - 2} d x)$

Passaggio 3.3

$\frac{1}{4}$ e $e^{4 x - 2}$ .

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \int \frac{e^{4 x - 2}}{4} d x)$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - (\frac{1}{4} \int e^{4 x - 2} d x))$

Passaggio 5

Sia $u = 4 x - 2$ . Allora $d u = 4 d x$ , quindi $\frac{1}{4} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 5.1

Sia $u = 4 x - 2$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 5.1.1

Differenzia $4 x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [4 x - 2]$

Passaggio 5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 5.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Passaggio 5.1.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 5.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 5.1.3.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 5.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 5.1.4.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 + 0$

Passaggio 5.1.4.2

Somma $4$ e $0$ .

$4$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{4} \int e^{u} \frac{1}{4} d u)$

Passaggio 6

$e^{u}$ e $\frac{1}{4}$ .

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{4} \int \frac{e^{u}}{4} d u)$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int e^{u} d u))$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{1}{4}$ .

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int e^{u} d u)$

Passaggio 8.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{16} \int e^{u} d u)$

Passaggio 9

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Riscrivi $- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$ come $- 7 (\frac{1}{4} x e^{4 x - 2} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$ .

$- 7 (\frac{1}{4} x e^{4 x - 2} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

Passaggio 10.2

Semplifica.

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Passaggio 10.2.1

$\frac{1}{4}$ e $x$ .

$- 7 (\frac{x}{4} e^{4 x - 2} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

Passaggio 10.2.2

$\frac{x}{4}$ e $e^{4 x - 2}$ .

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

Passaggio 10.2.3

Per scrivere $- \frac{1}{16} e^{u}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{16} e^{u} \cdot \frac{4}{4}) + C$

Passaggio 10.2.4

$- \frac{1}{16} e^{u}$ e $\frac{4}{4}$ .

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} + \frac{- \frac{1}{16} e^{u} \cdot 4}{4}) + C$

Passaggio 10.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} - \frac{1}{16} e^{u} \cdot 4}{4} + C$

Passaggio 10.2.6

$e^{u}$ e $\frac{1}{16}$ .

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} - \frac{e^{u}}{16} \cdot 4}{4} + C$

Passaggio 10.2.7

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} - 4 \frac{e^{u}}{16}}{4} + C$

Passaggio 10.2.8

$- 4$ e $\frac{e^{u}}{16}$ .

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} + \frac{- 4 e^{u}}{16}}{4} + C$

Passaggio 10.2.9

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $16$ .

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Passaggio 10.2.9.1

Scomponi $4$ da $- 4 e^{u}$ .

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} + \frac{4 (- e^{u})}{16}}{4} + C$

Passaggio 10.2.9.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 10.2.9.2.1

Scomponi $4$ da $16$ .

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} + \frac{4 (- e^{u})}{4 (4)}}{4} + C$

Passaggio 10.2.9.2.2

Elimina il fattore comune.

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} + \frac{4 (- e^{u})}{4 \cdot 4}}{4} + C$

Passaggio 10.2.9.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} + \frac{- e^{u}}{4}}{4} + C$

Passaggio 10.2.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} - \frac{e^{u}}{4}}{4} + C$

Passaggio 10.2.11

Per scrivere $x e^{4 x - 2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{e^{u}}{4}}{4} + C$

Passaggio 10.2.12

$x e^{4 x - 2}$ e $\frac{4}{4}$ .

$- 7 \frac{\frac{x e^{4 x - 2} \cdot 4}{4} - \frac{e^{u}}{4}}{4} + C$

Passaggio 10.2.13

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- 7 \frac{\frac{x e^{4 x - 2} \cdot 4 - e^{u}}{4}}{4} + C$

Passaggio 10.2.14

Sposta $4$ alla sinistra di $x e^{4 x - 2}$ .

$- 7 \frac{\frac{4 \cdot (x e^{4 x - 2}) - e^{u}}{4}}{4} + C$

Passaggio 10.2.15

Riscrivi $\frac{\frac{4 x e^{4 x - 2} - e^{u}}{4}}{4}$ come un prodotto.

$- 7 (\frac{4 x e^{4 x - 2} - e^{u}}{4} \cdot \frac{1}{4}) + C$

Passaggio 10.2.16

Moltiplica $\frac{4 x e^{4 x - 2} - e^{u}}{4}$ per $\frac{1}{4}$ .

$- 7 \frac{4 x e^{4 x - 2} - e^{u}}{4 \cdot 4} + C$

Passaggio 10.2.17

Moltiplica $4$ per $4$ .

$- 7 \frac{4 x e^{4 x - 2} - e^{u}}{16} + C$

Passaggio 10.2.18

$- 7$ e $\frac{4 x e^{4 x - 2} - e^{u}}{16}$ .

$\frac{- 7 (4 x e^{4 x - 2} - e^{u})}{16} + C$

Passaggio 10.2.19

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{7 (4 x e^{4 x - 2} - e^{u})}{16} + C$

Passaggio 11

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 x - 2$ .

$- \frac{7 (4 x e^{4 x - 2} - e^{4 x - 2})}{16} + C$

Passaggio 12

Riordina i termini.

$- \frac{7}{16} (4 x e^{4 x - 2} - e^{4 x - 2}) + C$