Calcolo Esempi

$\int \frac{{(1 + 3 x)}^{2}}{\sqrt[3]{x}} d x$

Passaggio 1

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x}$ come $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int \frac{{(1 + 3 x)}^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Passaggio 1.2

Sposta $x^{\frac{1}{3}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int {(1 + 3 x)}^{2} {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x$

Passaggio 1.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(1 + 3 x)}^{2} x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d x$

Passaggio 1.3.2

$\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$\int {(1 + 3 x)}^{2} x^{\frac{- 1}{3}} d x$

Passaggio 1.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int {(1 + 3 x)}^{2} x^{- \frac{1}{3}} d x$

Passaggio 2

Sia $u_{1} = 1 + 3 x$ . Allora $d u_{1} = 3 d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sia $u_{1} = 1 + 3 x$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia $1 + 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 3 x]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + 3 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 2.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 3 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + 3 \cdot 1$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$0 + 3$

Passaggio 2.1.4

Somma $0$ e $3$ .

$3$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int {u_{1}}^{2} {(\frac{u_{1}}{3} - \frac{1}{3})}^{- \frac{1}{3}} \frac{1}{3} d u_{1}$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

$\frac{1}{3}$ e ${u_{1}}^{2}$ .

$\int \frac{{u_{1}}^{2}}{3} {(\frac{u_{1}}{3} - \frac{1}{3})}^{- \frac{1}{3}} d u_{1}$

Passaggio 3.2

$\frac{{u_{1}}^{2}}{3}$ e ${(\frac{u_{1}}{3} - \frac{1}{3})}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\int \frac{{u_{1}}^{2} {(\frac{u_{1}}{3} - \frac{1}{3})}^{- \frac{1}{3}}}{3} d u_{1}$

Passaggio 3.3

Sposta ${(\frac{u_{1}}{3} - \frac{1}{3})}^{- \frac{1}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int \frac{{u_{1}}^{2}}{3 {(\frac{u_{1}}{3} - \frac{1}{3})}^{\frac{1}{3}}} d u_{1}$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} \int \frac{{u_{1}}^{2}}{{(\frac{u_{1}}{3} - \frac{1}{3})}^{\frac{1}{3}}} d u_{1}$

Passaggio 5

Sia $u_{2} = \frac{u_{1}}{3} - \frac{1}{3}$ . Allora $d u_{2} = \frac{1}{3} d u_{1}$ , quindi $3 d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sia $u_{2} = \frac{u_{1}}{3} - \frac{1}{3}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Differenzia $\frac{u_{1}}{3} - \frac{1}{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{3} - \frac{1}{3}]$

Passaggio 5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{u_{1}}{3} - \frac{1}{3}$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{3}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{3}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{3}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{3}]$

Passaggio 5.1.3

Calcola $\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , la derivata di $\frac{u_{1}}{3}$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{3} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{3}]$

Passaggio 5.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{3}]$

Passaggio 5.1.3.3

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{3}]$

Passaggio 5.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.1

Poiché $- \frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , la derivata di $- \frac{1}{3}$ rispetto a $u_{1}$ è $0$ .

$\frac{1}{3} + 0$

Passaggio 5.1.4.2

Somma $\frac{1}{3}$ e $0$ .

$\frac{1}{3}$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{{(3 u_{2} + 1)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{3}} d u_{2}$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{{(3 u_{2} + 1)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}} (1 \cdot 3) d u_{2}$

Passaggio 6.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{{(3 u_{2} + 1)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}} \cdot 3 d u_{2}$

Passaggio 6.3

$\frac{{(3 u_{2} + 1)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}}$ e $3$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{{(3 u_{2} + 1)}^{2} \cdot 3}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}} d u_{2}$

Passaggio 6.4

Sposta $3$ alla sinistra di ${(3 u_{2} + 1)}^{2}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{3 {(3 u_{2} + 1)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}} d u_{2}$

Passaggio 7

Poiché $3$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} (3 \int \frac{{(3 u_{2} + 1)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}} d u_{2})$

Passaggio 8

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 8.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

$3$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} \int \frac{{(3 u_{2} + 1)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}} d u_{2}$

Passaggio 8.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3}{3} \int \frac{{(3 u_{2} + 1)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}} d u_{2}$

Passaggio 8.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 \int \frac{{(3 u_{2} + 1)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}} d u_{2}$

Passaggio 8.1.3

Moltiplica $\int \frac{{(3 u_{2} + 1)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}} d u_{2}$ per $1$ .

$\int \frac{{(3 u_{2} + 1)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}} d u_{2}$

Passaggio 8.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Sposta ${u_{2}}^{\frac{1}{3}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int {(3 u_{2} + 1)}^{2} {({u_{2}}^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u_{2}$

Passaggio 8.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({u_{2}}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(3 u_{2} + 1)}^{2} {u_{2}}^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u_{2}$

Passaggio 8.2.2.2

$\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$\int {(3 u_{2} + 1)}^{2} {u_{2}}^{\frac{- 1}{3}} d u_{2}$

Passaggio 8.2.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int {(3 u_{2} + 1)}^{2} {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Passaggio 9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Riscrivi ${(3 u_{2} + 1)}^{2}$ come $(3 u_{2} + 1) (3 u_{2} + 1)$ .

$\int (3 u_{2} + 1) (3 u_{2} + 1) {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Passaggio 9.2