Calcolo Esempi

$\int 4 x \ln (5 x) d x$

Passaggio 1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$4 \int x \ln (5 x) d x$

Passaggio 2

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \ln (5 x)$ e $d v = x$ .

$4 (\ln (5 x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$4 (\ln (5 x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 3.2

$\ln (5 x)$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$4 (\frac{\ln (5 x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 3.3

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$4 (\frac{\ln (5 x) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 3.4

Moltiplica $\frac{x^{2}}{2}$ per $\frac{1}{x}$ .

$4 (\frac{\ln (5 x) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2 x} d x)$

Passaggio 3.5

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$4 (\frac{\ln (5 x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{2 x} d x)$

Passaggio 3.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Scomponi $x$ da $2 x$ .

$4 (\frac{\ln (5 x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

Passaggio 3.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$4 (\frac{\ln (5 x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

Passaggio 3.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$4 (\frac{\ln (5 x) x^{2}}{2} - \int \frac{x}{2} d x)$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$4 (\frac{\ln (5 x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x d x))$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{\ln (5 x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C))$

Passaggio 6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$4 (\frac{\ln (5 x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C))$

Passaggio 6.2

Riscrivi $4 (\frac{\ln (5 x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C))$ come $4 (\frac{\ln (5 x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) + C$ .

$4 (\frac{\ln (5 x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) + C$

Passaggio 6.3

Riordina i termini.

$4 (\frac{1}{2} \ln (5 x) x^{2} - \frac{1}{4} x^{2}) + C$