Calcolo Esempi

$\int 5 x e^{4 x} d x$

Passaggio 1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$5 \int x e^{4 x} d x$

Passaggio 2

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = e^{4 x}$ .

$5 (x (\frac{1}{4} e^{4 x}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

$\frac{1}{4}$ e $e^{4 x}$ .

$5 (x \frac{e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

Passaggio 3.2

$x$ e $\frac{e^{4 x}}{4}$ .

$5 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

Passaggio 3.3

$\frac{1}{4}$ e $e^{4 x}$ .

$5 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \int \frac{e^{4 x}}{4} d x)$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$5 (\frac{x e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \int e^{4 x} d x))$

Passaggio 5

Sia $u = 4 x$ . Allora $d u = 4 d x$ , quindi $\frac{1}{4} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 5.1

Sia $u = 4 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 5.1.1

Differenzia $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 5.1.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Passaggio 5.1.4

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$5 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} \int e^{u} \frac{1}{4} d u)$

Passaggio 6

$e^{u}$ e $\frac{1}{4}$ .

$5 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} \int \frac{e^{u}}{4} d u)$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$5 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int e^{u} d u))$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{1}{4}$ .

$5 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int e^{u} d u)$

Passaggio 8.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$5 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} \int e^{u} d u)$

Passaggio 9

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$5 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$

Passaggio 10

Riscrivi $5 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$ come $5 (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$ .

$5 (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

Passaggio 11

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 x$ .

$5 (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{4 x}) + C$