Calcolo Esempi

$\int \sin (9 t) + \sin (2 t) d t$

Passaggio 1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \sin (9 t) d t + \int \sin (2 t) d t$

Passaggio 2

Sia $u_{1} = 9 t$ . Allora $d u_{1} = 9 d t$ , quindi $\frac{1}{9} d u_{1} = d t$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sia $u_{1} = 9 t$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia $9 t$ .

$\frac{d}{d t} [9 t]$

Passaggio 2.1.2

Poiché $9$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $9 t$ rispetto a $t$ è $9 \frac{d}{d t} [t]$ .

$9 \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$9 \cdot 1$

Passaggio 2.1.4

Moltiplica $9$ per $1$ .

$9$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \sin (u_{1}) \frac{1}{9} d u_{1} + \int \sin (2 t) d t$

Passaggio 3

$\sin (u_{1})$ e $\frac{1}{9}$ .

$\int \frac{\sin (u_{1})}{9} d u_{1} + \int \sin (2 t) d t$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{9}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{9}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{9} \int \sin (u_{1}) d u_{1} + \int \sin (2 t) d t$

Passaggio 5

L'integrale di $\sin (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $- \cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{9} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \sin (2 t) d t$

Passaggio 6

Sia $u_{2} = 2 t$ . Allora $d u_{2} = 2 d t$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sia $u_{2} = 2 t$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Differenzia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Passaggio 6.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 6.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 6.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 6.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{9} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \sin (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Passaggio 7

$\sin (u_{2})$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{9} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \frac{\sin (u_{2})}{2} d u_{2}$

Passaggio 8

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{9} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{2} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 9

L'integrale di $\sin (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $- \cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{9} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{2} (- \cos (u_{2}) + C)$

Passaggio 10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Semplifica.

$- \frac{\cos (u_{1})}{9} + \frac{1}{2} (- \cos (u_{2})) + C$

Passaggio 10.2

$\frac{1}{2}$ e $\cos (u_{2})$ .

$- \frac{\cos (u_{1})}{9} - \frac{\cos (u_{2})}{2} + C$

Passaggio 11

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 11.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $9 t$ .

$- \frac{\cos (9 t)}{9} - \frac{\cos (u_{2})}{2} + C$

Passaggio 11.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 t$ .

$- \frac{\cos (9 t)}{9} - \frac{\cos (2 t)}{2} + C$

Passaggio 12

Riordina i termini.

$- \frac{1}{9} \cos (9 t) - \frac{1}{2} \cos (2 t) + C$