Calcolo Esempi

$x^{2} y^{2} - 9 x^{2} - 4 y^{2} = 0$

Passaggio 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Somma $9 x^{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} y^{2} - 4 y^{2} = 9 x^{2}$

Passaggio 1.2

Scomponi $y^{2}$ da $x^{2} y^{2} - 4 y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi $y^{2}$ da $x^{2} y^{2}$ .

$y^{2} x^{2} - 4 y^{2} = 9 x^{2}$

Passaggio 1.2.2

Scomponi $y^{2}$ da $- 4 y^{2}$ .

$y^{2} x^{2} + y^{2} \cdot - 4 = 9 x^{2}$

Passaggio 1.2.3

Scomponi $y^{2}$ da $y^{2} x^{2} + y^{2} \cdot - 4$ .

$y^{2} (x^{2} - 4) = 9 x^{2}$

Passaggio 1.3

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y^{2} (x^{2} - 2^{2}) = 9 x^{2}$

Passaggio 1.4

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$y^{2} ((x + 2) (x - 2)) = 9 x^{2}$

Passaggio 1.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$y^{2} (x + 2) (x - 2) = 9 x^{2}$

Passaggio 1.5

Dividi per $(x + 2) (x - 2)$ ciascun termine in $y^{2} (x + 2) (x - 2) = 9 x^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Dividi per $(x + 2) (x - 2)$ ciascun termine in $y^{2} (x + 2) (x - 2) = 9 x^{2}$ .

$\frac{y^{2} (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{9 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}$

Passaggio 1.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

Elimina il fattore comune di $x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y^{2} (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{9 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}$

Passaggio 1.5.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y^{2} (x - 2)}{x - 2} = \frac{9 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}$

Passaggio 1.5.2.2

Elimina il fattore comune di $x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y^{2} (x - 2)}{x - 2} = \frac{9 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}$

Passaggio 1.5.2.2.2

Dividi $y^{2}$ per $1$ .

$y^{2} = \frac{9 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}$

Passaggio 1.6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{9 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}}$

Passaggio 1.7

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{9 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{9 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}}$ come $\frac{\sqrt{9 x^{2}}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{9 x^{2}}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$

Passaggio 1.7.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.2.1

Riscrivi $9 x^{2}$ come ${(3 x)}^{2}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{{(3 x)}^{2}}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$

Passaggio 1.7.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$y = \pm \frac{3 x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$

Passaggio 1.7.3

Moltiplica $\frac{3 x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ per $\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ .

$y = \pm \frac{3 x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}} \cdot \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$

Passaggio 1.7.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.4.1

Moltiplica $\frac{3 x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ per $\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ .

$y = \pm \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$

Passaggio 1.7.4.2

Eleva $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ alla potenza di $1$ .

$y = \pm \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{1} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$

Passaggio 1.7.4.3

Eleva $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ alla potenza di $1$ .

$y = \pm \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{1} {\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{1}}$

Passaggio 1.7.4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \pm \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{1 + 1}}$

Passaggio 1.7.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$y = \pm \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{2}}$

Passaggio 1.7.4.6

Riscrivi ${\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{2}$ come $(x + 2) (x - 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ come ${((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{({((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 1.7.4.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 1.7.4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \pm \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 1.7.4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$y = \pm \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 1.7.4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \pm \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{1}}$

Passaggio 1.7.4.6.5

Semplifica.

$y = \pm \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$

Passaggio 1.8

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$

Passaggio 1.8.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$

Passaggio 1.8.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$

$y = - \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$

$y = \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$

$y = - \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$

$y = \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$

$y = - \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$

Passaggio 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} \to f (x) = \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$

$y = - \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} \to f (x) = - \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$

Passaggio 3

Because the $y$ variable in the equation $x^{2} y^{2} - 9 x^{2} - 4 y^{2} = 0$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y^{2} - 9 x^{2} - 4 y^{2}) = \frac{d}{d x} (0)$

Passaggio 3.2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} y^{2} - 9 x^{2} - 4 y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Passaggio 3.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y^{2}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Passaggio 3.2.2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Passaggio 3.2.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Passaggio 3.2.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $y$ .

$x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Passaggio 3.2.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$x^{2} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Passaggio 3.2.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{2} (2 y y') + y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Passaggio 3.2.2.5

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$2 \cdot x^{2} y y' + y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Passaggio 3.2.2.6

Sposta $2$ alla sinistra di $y^{2}$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Passaggio 3.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Passaggio 3.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Passaggio 3.2.3.3

Moltiplica $2$ per $- 9$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Passaggio 3.2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 y^{2}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x - 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 3.2.4.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $y$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x - 4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.2.4.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x - 4 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.2.4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $y$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x - 4 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.2.4.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x - 4 (2 y y')$

Passaggio 3.2.4.4

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x - 8 y y'$

Passaggio 3.2.5

Riordina i termini.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 8 y y' - 18 x$

Passaggio 3.3

Poiché $0$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $0$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 3.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 8 y y' - 18 x = 0$

Passaggio 3.5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.1

Sottrai $2 y^{2} x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x^{2} y y' - 8 y y' - 18 x = - 2 y^{2} x$

Passaggio 3.5.1.2

Somma $18 x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x^{2} y y' - 8 y y' = - 2 y^{2} x + 18 x$

Passaggio 3.5.2

Scomponi $2 y y'$ da $2 x^{2} y y' - 8 y y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Scomponi $2 y y'$ da $2 x^{2} y y'$ .

$2 y y' x^{2} - 8 y y' = - 2 y^{2} x + 18 x$

Passaggio 3.5.2.2

Scomponi $2 y y'$ da $- 8 y y'$ .

$2 y y' x^{2} + 2 y y' \cdot - 4 = - 2 y^{2} x + 18 x$

Passaggio 3.5.2.3

Scomponi $2 y y'$ da $2 y y' x^{2} + 2 y y' \cdot - 4$ .

$2 y y' (x^{2} - 4) = - 2 y^{2} x + 18 x$

Passaggio 3.5.3

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$2 y y' (x^{2} - 2^{2}) = - 2 y^{2} x + 18 x$

Passaggio 3.5.4

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$2 y y' ((x + 2) (x - 2)) = - 2 y^{2} x + 18 x$

Passaggio 3.5.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$2 y y' (x + 2) (x - 2) = - 2 y^{2} x + 18 x$

Passaggio 3.5.5

Dividi per $2 y (x + 2) (x - 2)$ ciascun termine in $2 y y' (x + 2) (x - 2) = - 2 y^{2} x + 18 x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.5.1

Dividi per $2 y (x + 2) (x - 2)$ ciascun termine in $2 y y' (x + 2) (x - 2) = - 2 y^{2} x + 18 x$ .

$\frac{2 y y' (x + 2) (x - 2)}{2 y (x + 2) (x - 2)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Passaggio 3.5.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.5.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y y' (x + 2) (x - 2)}{2 y (x + 2) (x - 2)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Passaggio 3.5.5.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y y' (x + 2) (x - 2)}{(y (x + 2)) (x - 2)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Passaggio 3.5.5.2.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.5.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y y' (x + 2) (x - 2)}{y (x + 2) (x - 2)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Passaggio 3.5.5.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Passaggio 3.5.5.2.3

Elimina il fattore comune di $x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.5.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Passaggio 3.5.5.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (x - 2)}{x - 2} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Passaggio 3.5.5.2.4

Elimina il fattore comune di $x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.5.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (x - 2)}{x - 2} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Passaggio 3.5.5.2.4.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Passaggio 3.5.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.5.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.5.3.1.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.5.3.1.1.1

Scomponi $2$ da $- 2 y^{2} x$ .

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Passaggio 3.5.5.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.5.3.1.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 y (x + 2) (x - 2)$ .

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 ((y (x + 2)) (x - 2))} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Passaggio 3.5.5.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 ((y (x + 2)) (x - 2))} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Passaggio 3.5.5.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{- y^{2} x}{(y (x + 2)) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Passaggio 3.5.5.3.1.2

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ e $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.5.3.1.2.1

Scomponi $y$ da $- y^{2} x$ .

$y' = \frac{y (- y x)}{(y (x + 2)) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Passaggio 3.5.5.3.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.5.3.1.2.2.1

Scomponi $y$ da $(y (x + 2)) (x - 2)$ .

$y' = \frac{y (- y x)}{y ((x + 2) (x - 2))} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Passaggio 3.5.5.3.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{y (- y x)}{y ((x + 2) (x - 2))} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Passaggio 3.5.5.3.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{- y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Passaggio 3.5.5.3.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Passaggio 3.5.5.3.1.4

Elimina il fattore comune di $18$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.5.3.1.4.1

Scomponi $2$ da $18 x$ .

$y' = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{2 (9 x)}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Passaggio 3.5.5.3.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.5.3.1.4.2.1

Scomponi $2$ da $2 y (x + 2) (x - 2)$ .

$y' = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{2 (9 x)}{2 ((y (x + 2)) (x - 2))}$

Passaggio 3.5.5.3.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{2 (9 x)}{2 ((y (x + 2)) (x - 2))}$

Passaggio 3.5.5.3.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{9 x}{(y (x + 2)) (x - 2)}$

$y' = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)}$

Passaggio 3.6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)}$

Passaggio 4

Imposta la derivata uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$(x + 2) (x - 2), y (x + 2) (x - 2), 1$

Passaggio 4.1.2

Since $(x + 2) (x - 2), y (x + 2) (x - 2), 1$ contains both numbers and variables, there are four steps to find the LCM. Find LCM for the numeric, variable, and compound variable parts. Then, multiply them all together.

I passaggi per trovare il minimo comune multiplo per $(x + 2) (x - 2), y (x + 2) (x - 2), 1$ sono:

1. Trova il minimo comune multiplo della parte numerica $1, 1, 1$ .

2. Trova il minimo comune multiplo per la parte variabile $y^{1}$

3. Trova il minimo comune multiplo per la parte variabile composta $x + 2, x - 2, x + 2, x - 2$ .

4. Moltiplica tutti i minimi comuni multipli tra loro.

Passaggio 4.1.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 4.1.4

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 4.1.5

Il minimo comune multiplo di $1, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$1$

Passaggio 4.1.6

Il fattore di $y^{1}$ è $y$ stesso.

$y^{1} = y$

$y$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 4.1.7

Il minimo comune multiplo (mcm) di $y^{1}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$y$

Passaggio 4.1.8

Il fattore di $x + 2$ è $x + 2$ stesso.

$(x + 2) = x + 2$

$(x + 2)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 4.1.9

Il fattore di $x - 2$ è $x - 2$ stesso.

$(x - 2) = x - 2$

$(x - 2)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 4.1.10

Il fattore di $x + 2$ è $x + 2$ stesso.

$(x + 2) = x + 2$

$(x + 2)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 4.1.11

Il fattore di $x - 2$ è $x - 2$ stesso.

$(x - 2) = x - 2$

$(x - 2)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 4.1.12

Il minimo comune multiplo di $x + 2, x - 2, x + 2, x - 2$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$(x + 2) (x - 2)$

Passaggio 4.1.13

Il minimo comune multiplo $LCM$ di alcuni numeri è il numero più piccolo di cui i numeri sono fattori.

$y (x + 2) (x - 2)$

Passaggio 4.2

Moltiplica per $y (x + 2) (x - 2)$ ciascun termine in $- \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} = 0$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} = 0$ per $y (x + 2) (x - 2)$ .

$- \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune di $(x + 2) (x - 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)}$ nel numeratore.

$\frac{- y x}{(x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

Passaggio 4.2.2.1.1.2

Scomponi $(x + 2) (x - 2)$ da $y (x + 2) (x - 2)$ .

$\frac{- y x}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (x - 2) (y)) + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

Passaggio 4.2.2.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{- y x}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (x - 2) y) + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

Passaggio 4.2.2.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$- y x y + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

Passaggio 4.2.2.1.2

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$- 1 x (y^{1} y) + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

Passaggio 4.2.2.1.3

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$- 1 x (y^{1} y^{1}) + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

Passaggio 4.2.2.1.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 1 x y^{1 + 1} + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

Passaggio 4.2.2.1.5

Somma $1$ e $1$ .

$- 1 x y^{2} + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

Passaggio 4.2.2.1.6

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$- x y^{2} + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

Passaggio 4.2.2.1.7

Elimina il fattore comune di $y (x + 2) (x - 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.7.1

Elimina il fattore comune.

$- x y^{2} + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

Passaggio 4.2.2.1.7.2

Riscrivi l'espressione.

$- x y^{2} + 9 x = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

Passaggio 4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Semplifica moltiplicando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$- x y^{2} + 9 x = 0 ((y x + y \cdot 2) (x - 2))$

Passaggio 4.2.3.1.2

Sposta $2$ alla sinistra di $y$ .

$- x y^{2} + 9 x = 0 ((y x + 2 \cdot y) (x - 2))$

Passaggio 4.2.3.2

Espandi $(y x + 2 y) (x - 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$- x y^{2} + 9 x = 0 (y x (x - 2) + 2 y (x - 2))$

Passaggio 4.2.3.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$- x y^{2} + 9 x = 0 (y x \cdot x + y x \cdot - 2 + 2 y (x - 2))$

Passaggio 4.2.3.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$- x y^{2} + 9 x = 0 (y x \cdot x + y x \cdot - 2 + 2 y x + 2 y \cdot - 2)$

Passaggio 4.2.3.3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.3.1

Combina i termini opposti in $y x \cdot x + y x \cdot - 2 + 2 y x + 2 y \cdot - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.3.1.1

Riordina i fattori nei termini di $y x \cdot - 2$ e $2 y x$ .

$- x y^{2} + 9 x = 0 (y x \cdot x - 2 x y + 2 x y + 2 y \cdot - 2)$

Passaggio 4.2.3.3.1.2

Somma $- 2 x y$ e $2 x y$ .

$- x y^{2} + 9 x = 0 (y x \cdot x + 0 + 2 y \cdot - 2)$

Passaggio 4.2.3.3.1.3

Somma $y x \cdot x$ e $0$ .

$- x y^{2} + 9 x = 0 (y x \cdot x + 2 y \cdot - 2)$

Passaggio 4.2.3.3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.3.2.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.3.2.1.1

Sposta $x$ .

$- x y^{2} + 9 x = 0 (y (x \cdot x) + 2 y \cdot - 2)$

Passaggio 4.2.3.3.2.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$- x y^{2} + 9 x = 0 (y x^{2} + 2 y \cdot - 2)$

Passaggio 4.2.3.3.2.2

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$- x y^{2} + 9 x = 0 (y x^{2} - 4 y)$

Passaggio 4.2.3.3.3

Moltiplica $0$ per $y x^{2} - 4 y$ .

$- x y^{2} + 9 x = 0$

Passaggio 4.3

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Scomponi $x$ da $- x y^{2} + 9 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1

Scomponi $x$ da $- x y^{2}$ .

$x (- 1 y^{2}) + 9 x = 0$

Passaggio 4.3.1.2

Scomponi $x$ da $9 x$ .

$x (- 1 y^{2}) + x \cdot 9 = 0$

Passaggio 4.3.1.3

Scomponi $x$ da $x (- 1 y^{2}) + x \cdot 9$ .

$x (- 1 y^{2} + 9) = 0$

Passaggio 4.3.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$x (- 1 y^{2} + 3^{2}) = 0$

Passaggio 4.3.3

Riordina $- 1 y^{2}$ e $3^{2}$ .

$x (3^{2} - 1 y^{2}) = 0$

Passaggio 4.3.4

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 3$ e $b = y$ .

$x ((3 + y) (3 - y)) = 0$

Passaggio 4.3.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$x (3 + y) (3 - y) = 0$

Passaggio 4.3.5

Dividi per $(3 + y) (3 - y)$ ciascun termine in $x (3 + y) (3 - y) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.1

Dividi per $(3 + y) (3 - y)$ ciascun termine in $x (3 + y) (3 - y) = 0$ .

$\frac{x (3 + y) (3 - y)}{(3 + y) (3 - y)} = \frac{0}{(3 + y) (3 - y)}$

Passaggio 4.3.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.2.1

Elimina il fattore comune di $3 + y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (3 + y) (3 - y)}{(3 + y) (3 - y)} = \frac{0}{(3 + y) (3 - y)}$

Passaggio 4.3.5.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x (3 - y)}{3 - y} = \frac{0}{(3 + y) (3 - y)}$

Passaggio 4.3.5.2.2

Elimina il fattore comune di $3 - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (3 - y)}{3 - y} = \frac{0}{(3 + y) (3 - y)}$

Passaggio 4.3.5.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{(3 + y) (3 - y)}$

Passaggio 4.3.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.3.1

Dividi $0$ per $(3 + y) (3 - y)$ .

$x = 0$

Passaggio 5

Solve the function $f (x) = \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$ at $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = \frac{3 (0) \sqrt{((0) + 2) ((0) - 2)}}{((0) + 2) ((0) - 2)}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Elimina il fattore comune di $0$ e $(0) + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1

Scomponi $2$ da $3 (0) \sqrt{((0) + 2) ((0) - 2)}$ .

$f (0) = \frac{2 (3 \cdot ((0) \sqrt{((0) + 2) ((0) - 2)}))}{((0) + 2) ((0) - 2)}$

Passaggio 5.2.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.2.1

Scomponi $2$ da $((0) + 2) ((0) - 2)$ .

$f (0) = \frac{2 (3 \cdot ((0) \sqrt{((0) + 2) ((0) - 2)}))}{2 ((0 + 1) ((0) - 2))}$

Passaggio 5.2.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (0) = \frac{2 (3 \cdot ((0) \sqrt{((0) + 2) ((0) - 2)}))}{2 ((0 + 1) ((0) - 2))}$

Passaggio 5.2.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (0) = \frac{3 \cdot ((0) \sqrt{((0) + 2) ((0) - 2)})}{(0 + 1) ((0) - 2)}$

Passaggio 5.2.1.2

Elimina il fattore comune di $0$ e $(0) - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $3 \cdot (0) \sqrt{((0) + 2) ((0) - 2)}$ .

$f (0) = \frac{2 (3 \cdot ((0) \sqrt{((0) + 2) ((0) - 2)}))}{(0 + 1) ((0) - 2)}$

Passaggio 5.2.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.2.2.1

Scomponi $2$ da $(0 + 1) ((0) - 2)$ .

$f (0) = \frac{2 (3 \cdot ((0) \sqrt{((0) + 2) ((0) - 2)}))}{2 ((0 + 1) (0 - 1))}$

Passaggio 5.2.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (0) = \frac{2 (3 \cdot ((0) \sqrt{((0) + 2) ((0) - 2)}))}{2 ((0 + 1) (0 - 1))}$

Passaggio 5.2.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (0) = \frac{3 \cdot ((0) \sqrt{((0) + 2) ((0) - 2)})}{(0 + 1) (0 - 1)}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Moltiplica $3$ per $0$ .

$f (0) = \frac{0 \sqrt{(0 + 2) (0 - 2)}}{(0 + 1) (0 - 1)}$

Passaggio 5.2.2.2

Moltiplica $0$ per $\sqrt{(0 + 2) (0 - 2)}$ .

$f (0) = \frac{0}{(0 + 1) (0 - 1)}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Riscrivi $0$ come $- 1 (0)$ .

$f (0) = \frac{0}{(- 1 \cdot 0 + 1) (0 - 1)}$

Passaggio 5.2.3.2

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$f (0) = \frac{0}{(- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 1) (0 - 1)}$

Passaggio 5.2.3.3

Scomponi $- 1$ da $- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 1$ .

$f (0) = \frac{0}{- 1 \cdot ((0 - 1) (0 - 1))}$

Passaggio 5.2.3.4

Eleva $0 - 1$ alla potenza di $1$ .

$f (0) = \frac{0}{- 1 \cdot ((0 - 1) (0 - 1))}$

Passaggio 5.2.3.5

Eleva $0 - 1$ alla potenza di $1$ .

$f (0) = \frac{0}{- 1 \cdot ((0 - 1) (0 - 1))}$

Passaggio 5.2.3.6

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (0) = \frac{0}{- 1 \cdot {(0 - 1)}^{1 + 1}}$

Passaggio 5.2.3.7

Somma $1$ e $1$ .

$f (0) = \frac{0}{- 1 \cdot {(0 - 1)}^{2}}$

Passaggio 5.2.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Sottrai $1$ da $0$ .

$f (0) = \frac{0}{- 1 {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 5.2.4.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (0) = \frac{0}{- 1 \cdot 1}$

Passaggio 5.2.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (0) = \frac{0}{- 1}$

Passaggio 5.2.5.2

Dividi $0$ per $- 1$ .

$f (0) = 0$

Passaggio 5.2.6

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 6

The horizontal tangent lines are $y = 0, y = 0$

$y = 0, y = 0$

Passaggio 7