Calcolo Esempi

$\int 9 x \sin (2 x) d x$

Passaggio 1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , sposta $9$ fuori dall'integrale.

$9 \int x \sin (2 x) d x$

Passaggio 2

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = \sin (2 x)$ .

$9 (x (- \frac{1}{2} \cos (2 x)) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x)$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

$\cos (2 x)$ e $\frac{1}{2}$ .

$9 (x (- \frac{\cos (2 x)}{2}) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x)$

Passaggio 3.2

$x$ e $\frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x)$

Passaggio 3.3

$\cos (2 x)$ e $\frac{1}{2}$ .

$9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

Passaggio 4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - - \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + 1 \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

Passaggio 5.2

Moltiplica $\int \frac{\cos (2 x)}{2} d x$ per $1$ .

$9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x)$

Passaggio 7

Sia $u = 2 x$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 7.1

Sia $u = 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 7.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 7.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 7.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 7.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 7.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Passaggio 8

$\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Passaggio 9

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int \cos (u) d u)$

Passaggio 10.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} \int \cos (u) d u)$

Passaggio 11

L'integrale di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $\sin (u)$ .

$9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C))$

Passaggio 12

Semplifica.

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Passaggio 12.1

Riscrivi $9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C))$ come $9 (- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$ .

$9 (- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$

Passaggio 12.2

Semplifica.

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Passaggio 12.2.1

$x$ e $\frac{1}{2}$ .

$9 (- \frac{x}{2} \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$

Passaggio 12.2.2

$\cos (2 x)$ e $\frac{x}{2}$ .

$9 (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$

Passaggio 12.2.3

$\frac{1}{4}$ e $\sin (u)$ .

$9 (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (u)}{4}) + C$

Passaggio 13

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$9 (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) + C$

Passaggio 14

Semplifica.

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Passaggio 14.1

Riordina i fattori in $\frac{\cos (2 x) x}{2}$ .

$9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) + C$

Passaggio 14.2

Riordina i termini.

$9 (- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (2 x)) + C$