Calcolo Esempi

$\int 6 x^{3} {(1 + x^{8})}^{- 1} d x$

Passaggio 1

Semplifica.

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Passaggio 1.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int 6 x^{3} \frac{1}{1 + x^{8}} d x$

Passaggio 1.2

Moltiplica $6 x^{3} \frac{1}{1 + x^{8}}$ .

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Passaggio 1.2.1

$6$ e $\frac{1}{1 + x^{8}}$ .

$\int x^{3} \frac{6}{1 + x^{8}} d x$

Passaggio 1.2.2

$x^{3}$ e $\frac{6}{1 + x^{8}}$ .

$\int \frac{x^{3} \cdot 6}{1 + x^{8}} d x$

Passaggio 1.3

Sposta $6$ alla sinistra di $x^{3}$ .

$\int \frac{6 x^{3}}{1 + x^{8}} d x$

Passaggio 2

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , sposta $6$ fuori dall'integrale.

$6 \int \frac{x^{3}}{1 + x^{8}} d x$

Passaggio 3

Riscrivi $x^{8}$ come ${(x^{4})}^{2}$ .

$6 \int \frac{x^{3}}{1 + {(x^{4})}^{2}} d x$

Passaggio 4

Sia $u = x^{4}$ . Allora $d u = 4 x^{3} d x$ , quindi $\frac{1}{4} d u = x^{3} d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 4.1

Sia $u = x^{4}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 4.1.1

Differenzia $x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 x^{3}$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$6 \int \frac{1}{1 + u^{2}} \cdot \frac{1}{4} d u$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $\frac{1}{1 + u^{2}}$ per $\frac{1}{4}$ .

$6 \int \frac{1}{(1 + u^{2}) \cdot 4} d u$

Passaggio 5.2

Sposta $4$ alla sinistra di $1 + u^{2}$ .

$6 \int \frac{1}{4 (1 + u^{2})} d u$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$6 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u)$

Passaggio 7

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 7.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

$\frac{1}{4}$ e $6$ .

$\frac{6}{4} \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

Passaggio 7.1.2

Elimina il fattore comune di $6$ e $4$ .

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Passaggio 7.1.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$\frac{2 (3)}{4} \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

Passaggio 7.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 7.1.2.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

Passaggio 7.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

Passaggio 7.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

Passaggio 7.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{1^{2} + u^{2}} d u$

Passaggio 8

L'integrale di $\frac{1}{1^{2} + u^{2}}$ rispetto a $u$ è $\arctan (u) + C$ .

$\frac{3}{2} (\arctan (u) + C)$

Passaggio 9

Semplifica.

$\frac{3}{2} \arctan (u) + C$

Passaggio 10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{4}$ .

$\frac{3}{2} \arctan (x^{4}) + C$