Calcolo Esempi

$\int 9 \csc^{2} (6 x - 2) d x$

Passaggio 1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , sposta $9$ fuori dall'integrale.

$9 \int \csc^{2} (6 x - 2) d x$

Passaggio 2

Sia $u = 6 x - 2$ . Allora $d u = 6 d x$ , quindi $\frac{1}{6} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = 6 x - 2$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $6 x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [6 x - 2]$

Passaggio 2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Passaggio 2.1.3.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $6$ per $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 2.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 2.1.4.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$6 + 0$

Passaggio 2.1.4.2

Somma $6$ e $0$ .

$6$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$9 \int \csc^{2} (u) \frac{1}{6} d u$

Passaggio 3

$\csc^{2} (u)$ e $\frac{1}{6}$ .

$9 \int \frac{\csc^{2} (u)}{6} d u$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{6}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{6}$ fuori dall'integrale.

$9 (\frac{1}{6} \int \csc^{2} (u) d u)$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

$\frac{1}{6}$ e $9$ .

$\frac{9}{6} \int \csc^{2} (u) d u$

Passaggio 5.2

Elimina il fattore comune di $9$ e $6$ .

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Passaggio 5.2.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$\frac{3 (3)}{6} \int \csc^{2} (u) d u$

Passaggio 5.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.2.2.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2} \int \csc^{2} (u) d u$

Passaggio 5.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2} \int \csc^{2} (u) d u$

Passaggio 5.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3}{2} \int \csc^{2} (u) d u$

Passaggio 6

Poiché la derivata di $- \cot (u)$ è $\csc^{2} (u)$ , l'integrale di $\csc^{2} (u)$ è $- \cot (u)$ .

$\frac{3}{2} (- \cot (u) + C)$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Semplifica.

$\frac{3}{2} (- \cot (u)) + C$

Passaggio 7.2

$\frac{3}{2}$ e $\cot (u)$ .

$- \frac{3 \cot (u)}{2} + C$

Passaggio 8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $6 x - 2$ .

$- \frac{3 \cot (6 x - 2)}{2} + C$

Passaggio 9

Riordina i termini.

$- \frac{3}{2} \cot (6 x - 2) + C$