Calcolo Esempi

$\int_{x}^{x^{2}} e^{t^{7}} d t$

Passaggio 1

Dividi l'integrale in due integrali, dove $c$ è un qualche valore tra $x$ e $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{x}^{c} e^{t^{7}} d t + \int_{c}^{x^{2}} e^{t^{7}} d t]$

Passaggio 2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\int_{x}^{c} e^{t^{7}} d t + \int_{c}^{x^{2}} e^{t^{7}} d t$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\int_{x}^{c} e^{t^{7}} d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{2}} e^{t^{7}} d t]$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{x}^{c} e^{t^{7}} d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{2}} e^{t^{7}} d t]$

Passaggio 3

Inverti i limiti dell'integrazione.

$\frac{d}{d x} [- \int_{c}^{x} e^{t^{7}} d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{2}} e^{t^{7}} d t]$

Passaggio 4

Trova la derivata di $- \int_{c}^{x} e^{t^{7}} d t$ rispetto a $x$ usando il teorema fondamentale del calcolo.

$- e^{x^{7}} + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{2}} e^{t^{7}} d t]$

Passaggio 5

Trova la derivata di $\int_{c}^{x^{2}} e^{t^{7}} d t$ rispetto a $x$ usando il teorema fondamentale del calcolo e la regola della catena.

$- e^{x^{7}} + \frac{d}{d x} [x^{2}] e^{{(x^{2})}^{7}}$

Passaggio 6

Differenzia usando la regola di potenza.

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Passaggio 6.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- e^{x^{7}} + 2 x e^{{(x^{2})}^{7}}$

Passaggio 6.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{7}$ .

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Passaggio 6.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- e^{x^{7}} + 2 x e^{x^{2 \cdot 7}}$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica $2$ per $7$ .

$- e^{x^{7}} + 2 x e^{x^{14}}$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Riordina i termini.

$2 e^{x^{14}} x - e^{x^{7}}$

Passaggio 7.2

Riordina i fattori in $2 e^{x^{14}} x - e^{x^{7}}$ .

$2 x e^{x^{14}} - e^{x^{7}}$