Calcolo Esempi

$\int \frac{4}{x^{2} - 4} d x$

Passaggio 1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$4 \int \frac{1}{x^{2} - 4} d x$

Passaggio 2

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Scomponi la frazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2^{2}}$

Passaggio 2.1.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$\frac{1}{(x + 2) (x - 2)}$

Passaggio 2.1.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{x + 2}$

Passaggio 2.1.3

$\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 2}$

Passaggio 2.1.4

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $(x + 2) (x - 2)$ .

$\frac{1 (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Passaggio 2.1.5

Elimina il fattore comune di $x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Passaggio 2.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Passaggio 2.1.6

Elimina il fattore comune di $x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Passaggio 2.1.6.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Passaggio 2.1.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.7.1

Elimina il fattore comune di $x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.7.1.1

Elimina il fattore comune.

$1 = \frac{A (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Passaggio 2.1.7.1.2

Dividi $(A) (x - 2)$ per $1$ .

$1 = (A) (x - 2) + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Passaggio 2.1.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A x + A \cdot - 2 + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Passaggio 2.1.7.3

Sposta $- 2$ alla sinistra di $A$ .

$1 = A x - 2 \cdot A + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Passaggio 2.1.7.4

Elimina il fattore comune di $x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$1 = A x - 2 A + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Passaggio 2.1.7.4.2

Dividi $(B) (x + 2)$ per $1$ .

$1 = A x - 2 A + (B) (x + 2)$

Passaggio 2.1.7.5

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A x - 2 A + B x + B \cdot 2$

Passaggio 2.1.7.6

Sposta $2$ alla sinistra di $B$ .

$1 = A x - 2 A + B x + 2 B$

Passaggio 2.1.8

Sposta $- 2 A$ .

$1 = A x + B x - 2 A + 2 B$

Passaggio 2.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = A + B$

Passaggio 2.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = - 2 A + 2 B$

Passaggio 2.2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$0 = A + B$

$1 = - 2 A + 2 B$

$0 = A + B$

$1 = - 2 A + 2 B$

Passaggio 2.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Risolvi per $A$ in $0 = A + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi l'equazione come $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$1 = - 2 A + 2 B$

Passaggio 2.3.1.2

Sottrai $B$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = - B$

$1 = - 2 A + 2 B$

$A = - B$

$1 = - 2 A + 2 B$

Passaggio 2.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $- B$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $1 = - 2 A + 2 B$ con $- B$ .

$1 = - 2 (- B) + 2 B$

$A = - B$

Passaggio 2.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Semplifica $- 2 (- B) + 2 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$1 = 2 B + 2 B$

$A = - B$

Passaggio 2.3.2.2.1.2

Somma $2 B$ e $2 B$ .

$1 = 4 B$

$A = - B$

$1 = 4 B$

$A = - B$

$1 = 4 B$

$A = - B$

$1 = 4 B$

$A = - B$

Passaggio 2.3.3

Risolvi per $B$ in $1 = 4 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $4 B = 1$ .

$4 B = 1$

$A = - B$

Passaggio 2.3.3.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 B = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 B = 1$ .

$\frac{4 B}{4} = \frac{1}{4}$

$A = - B$

Passaggio 2.3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 B}{4} = \frac{1}{4}$

$A = - B$

Passaggio 2.3.3.2.2.1.2

Dividi $B$ per $1$ .

$B = \frac{1}{4}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{4}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{4}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{4}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{4}$

$A = - B$

Passaggio 2.3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $\frac{1}{4}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $A = - B$ con $\frac{1}{4}$ .

$A = - (\frac{1}{4})$

$B = \frac{1}{4}$

Passaggio 2.3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.2.1

Moltiplica $- 1$ per $\frac{1}{4}$ .

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

Passaggio 2.3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$A = - \frac{1}{4}, B = \frac{1}{4}$

Passaggio 2.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 2}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$\frac{- \frac{1}{4}}{x + 2} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 2}$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x + 2} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 2}$

Passaggio 2.5.2

Moltiplica $\frac{1}{x + 2}$ per $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{(x + 2) \cdot 4} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 2}$

Passaggio 2.5.3

Sposta $4$ alla sinistra di $x + 2$ .

$- \frac{1}{4 (x + 2)} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 2}$

Passaggio 2.5.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- \frac{1}{4 (x + 2)} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x - 2}$

Passaggio 2.5.5

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{1}{x - 2}$ .

$4 \int - \frac{1}{4 (x + 2)} + \frac{1}{4 (x - 2)} d x$

Passaggio 3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$4 (\int - \frac{1}{4 (x + 2)} d x + \int \frac{1}{4 (x - 2)} d x)$

Passaggio 4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$4 (- \int \frac{1}{4 (x + 2)} d x + \int \frac{1}{4 (x - 2)} d x)$

Passaggio 5

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$4 (- (\frac{1}{4} \int \frac{1}{x + 2} d x) + \int \frac{1}{4 (x - 2)} d x)$

Passaggio 6

Sia $u_{1} = x + 2$ . Allora $d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sia $u_{1} = x + 2$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Differenzia $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Passaggio 6.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 6.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 6.1.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 6.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 6.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$4 (- \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (x - 2)} d x)$

Passaggio 7

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$4 (- \frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{4 (x - 2)} d x)$

Passaggio 8

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$4 (- \frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{x - 2} d x)$

Passaggio 9

Sia $u_{2} = x - 2$ . Allora $d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sia $u_{2} = x - 2$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Differenzia $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Passaggio 9.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 9.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 9.1.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 9.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 9.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$4 (- \frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Passaggio 10

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$4 (- \frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{4} (\ln (| u_{2} |) + C))$

Passaggio 11

Semplifica.

$4 (- \frac{1}{4} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{4} \ln (| u_{2} |)) + C$

Passaggio 12

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x + 2$ .

$4 (- \frac{1}{4} \ln (| x + 2 |) + \frac{1}{4} \ln (| u_{2} |)) + C$

Passaggio 12.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x - 2$ .

$4 (- \frac{1}{4} \ln (| x + 2 |) + \frac{1}{4} \ln (| x - 2 |)) + C$

Passaggio 13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

$\ln (| x + 2 |)$ e $\frac{1}{4}$ .

$4 (- \frac{\ln (| x + 2 |)}{4} + \frac{1}{4} \ln (| x - 2 |)) + C$

Passaggio 13.1.2

$\frac{1}{4}$ e $\ln (| x - 2 |)$ .

$4 (- \frac{\ln (| x + 2 |)}{4} + \frac{\ln (| x - 2 |)}{4}) + C$

Passaggio 13.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4 \frac{- \ln (| x + 2 |) + \ln (| x - 2 |)}{4} + C$

Passaggio 13.3

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.1

Elimina il fattore comune.

$4 \frac{- \ln (| x + 2 |) + \ln (| x - 2 |)}{4} + C$

Passaggio 13.3.2

Riscrivi l'espressione.

$- \ln (| x + 2 |) + \ln (| x - 2 |) + C$