Calcolo Esempi

$\int \frac{4 x^{2} - 3 x - 4}{x^{3} + x^{2} - 2 x} d x$

Passaggio 1

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Scomponi la frazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Scomponi $x$ da $x^{3} + x^{2} - 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1.1

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{2} - 3 x - 4}{x \cdot x^{2} + x^{2} - 2 x}$

Passaggio 1.1.1.1.2

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} - 3 x - 4}{x \cdot x^{2} + x \cdot x - 2 x}$

Passaggio 1.1.1.1.3

Scomponi $x$ da $- 2 x$ .

$\frac{4 x^{2} - 3 x - 4}{x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 2}$

Passaggio 1.1.1.1.4

Scomponi $x$ da $x \cdot x^{2} + x \cdot x$ .

$\frac{4 x^{2} - 3 x - 4}{x (x^{2} + x) + x \cdot - 2}$

Passaggio 1.1.1.1.5

Scomponi $x$ da $x (x^{2} + x) + x \cdot - 2$ .

$\frac{4 x^{2} - 3 x - 4}{x (x^{2} + x - 2)}$

Passaggio 1.1.1.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Scomponi $x^{2} + x - 2$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 2$ e la cui somma è $1$ .

$- 1, 2$

Passaggio 1.1.1.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$\frac{4 x^{2} - 3 x - 4}{x ((x - 1) (x + 2))}$

Passaggio 1.1.1.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$\frac{4 x^{2} - 3 x - 4}{x (x - 1) (x + 2)}$

Passaggio 1.1.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1}$

Passaggio 1.1.3

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1} + \frac{C}{x + 2}$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $x (x - 1) (x + 2)$ .

$\frac{(4 x^{2} - 3 x - 4) (x (x - 1) (x + 2))}{x (x - 1) (x + 2)} = \frac{A (x (x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Passaggio 1.1.5

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(4 x^{2} - 3 x - 4) (x (x - 1) (x + 2))}{x (x - 1) (x + 2)} = \frac{A (x (x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Passaggio 1.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(4 x^{2} - 3 x - 4) ((x - 1) (x + 2))}{(x - 1) (x + 2)} = \frac{A (x (x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Passaggio 1.1.6

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(4 x^{2} - 3 x - 4) ((x - 1) (x + 2))}{(x - 1) (x + 2)} = \frac{A (x (x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Passaggio 1.1.6.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(4 x^{2} - 3 x - 4) (x + 2)}{x + 2} = \frac{A (x (x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Passaggio 1.1.7

Elimina il fattore comune di $x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(4 x^{2} - 3 x - 4) (x + 2)}{x + 2} = \frac{A (x (x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Passaggio 1.1.7.2

Dividi $4 x^{2} - 3 x - 4$ per $1$ .

$4 x^{2} - 3 x - 4 = \frac{A (x (x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Passaggio 1.1.8

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.1.1

Elimina il fattore comune.

$4 x^{2} - 3 x - 4 = \frac{A (x (x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Passaggio 1.1.8.1.2

Dividi $A ((x - 1) (x + 2))$ per $1$ .

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A ((x - 1) (x + 2)) + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Passaggio 1.1.8.2

Espandi $(x - 1) (x + 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A (x (x + 2) - 1 (x + 2)) + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Passaggio 1.1.8.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A (x \cdot x + x \cdot 2 - 1 (x + 2)) + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Passaggio 1.1.8.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A (x \cdot x + x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2) + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Passaggio 1.1.8.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A (x^{2} + x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2) + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Passaggio 1.1.8.3.1.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A (x^{2} + 2 \cdot x - 1 x - 1 \cdot 2) + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Passaggio 1.1.8.3.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A (x^{2} + 2 x - x - 1 \cdot 2) + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Passaggio 1.1.8.3.1.4

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A (x^{2} + 2 x - x - 2) + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Passaggio 1.1.8.3.2

Sottrai $x$ da $2 x$ .

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A (x^{2} + x - 2) + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Passaggio 1.1.8.4

Applica la proprietà distributiva.

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x + A \cdot - 2 + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Passaggio 1.1.8.5

Sposta $- 2$ alla sinistra di $A$ .

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 \cdot A + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Passaggio 1.1.8.6

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.6.1

Elimina il fattore comune.

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + \frac{B (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Passaggio 1.1.8.6.2

Dividi $(B) (x (x + 2))$ per $1$ .

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + (B) (x (x + 2)) + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Passaggio 1.1.8.7

Applica la proprietà distributiva.

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + B (x \cdot x + x \cdot 2) + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Passaggio 1.1.8.8

Moltiplica $x$ per $x$ .

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + B (x^{2} + x \cdot 2) + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Passaggio 1.1.8.9

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + B (x^{2} + 2 \cdot x) + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Passaggio 1.1.8.10

Applica la proprietà distributiva.

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + B (2 x) + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Passaggio 1.1.8.11

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Passaggio 1.1.8.12

Elimina il fattore comune di $x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.12.1

Elimina il fattore comune.

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + \frac{C (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Passaggio 1.1.8.12.2

Dividi $(C) (x (x - 1))$ per $1$ .

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + (C) (x (x - 1))$

Passaggio 1.1.8.13

Applica la proprietà distributiva.

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C (x \cdot x + x \cdot - 1)$

Passaggio 1.1.8.14

Moltiplica $x$ per $x$ .

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C (x^{2} + x \cdot - 1)$

Passaggio 1.1.8.15

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C (x^{2} - 1 \cdot x)$

Passaggio 1.1.8.16

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C (x^{2} - x)$

Passaggio 1.1.8.17

Applica la proprietà distributiva.

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C x^{2} + C (- x)$

Passaggio 1.1.8.18

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C x^{2} - C x$

Passaggio 1.1.9

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.1

Riordina $B$ e $x^{2}$ .

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C x^{2} - C x$

Passaggio 1.1.9.2

Sposta $B$ .

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 x B + C x^{2} - C x$

Passaggio 1.1.9.3

Sposta $- 2 A$ .

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x + B x^{2} + 2 x B + C x^{2} - C x - 2 A$

Passaggio 1.1.9.4

Sposta $2 x B$ .

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x + B x^{2} + C x^{2} + 2 x B - C x - 2 A$

Passaggio 1.1.9.5

Sposta $A x$ .

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + B x^{2} + C x^{2} + A x + 2 x B - C x - 2 A$

Passaggio 1.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x^{2}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$4 = A + B + C$

Passaggio 1.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$- 3 = A + 2 B - 1 C$

Passaggio 1.2.3

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$- 4 = - 2 A$

Passaggio 1.2.4

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$4 = A + B + C$

$- 3 = A + 2 B - 1 C$

$- 4 = - 2 A$

$4 = A + B + C$

$- 3 = A + 2 B - 1 C$

$- 4 = - 2 A$

Passaggio 1.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Risolvi per $A$ in $- 4 = - 2 A$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Riscrivi l'equazione come $- 2 A = - 4$ .

$- 2 A = - 4$

$4 = A + B + C$

$- 3 = A + 2 B - 1 C$

Passaggio 1.3.1.2

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 A = - 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.2.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 A = - 4$ .

$\frac{- 2 A}{- 2} = \frac{- 4}{- 2}$

$4 = A + B + C$

$- 3 = A + 2 B - 1 C$

Passaggio 1.3.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 A}{- 2} = \frac{- 4}{- 2}$

$4 = A + B + C$

$- 3 = A + 2 B - 1 C$

Passaggio 1.3.1.2.2.1.2

Dividi $A$ per $1$ .

$A = \frac{- 4}{- 2}$

$4 = A + B + C$

$- 3 = A + 2 B - 1 C$

$A = \frac{- 4}{- 2}$

$4 = A + B + C$

$- 3 = A + 2 B - 1 C$

$A = \frac{- 4}{- 2}$

$4 = A + B + C$

$- 3 = A + 2 B - 1 C$

Passaggio 1.3.1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.2.3.1

Dividi $- 4$ per $- 2$ .

$A = 2$

$4 = A + B + C$

$- 3 = A + 2 B - 1 C$

$A = 2$

$4 = A + B + C$

$- 3 = A + 2 B - 1 C$

$A = 2$

$4 = A + B + C$

$- 3 = A + 2 B - 1 C$

$A = 2$

$4 = A + B + C$

$- 3 = A + 2 B - 1 C$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $2$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $4 = A + B + C$ con $2$ .

$4 = (2) + B + C$

$A = 2$

$- 3 = A + 2 B - 1 C$

Passaggio 1.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$4 = 2 + B + C$

$A = 2$

$- 3 = A + 2 B - 1 C$

$4 = 2 + B + C$

$A = 2$

$- 3 = A + 2 B - 1 C$

Passaggio 1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $- 3 = A + 2 B - 1 C$ con $2$ .

$- 3 = (2) + 2 B - 1 C$

$4 = 2 + B + C$

$A = 2$

Passaggio 1.3.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.4.1

Riscrivi $- 1 C$ come $- C$ .

$- 3 = 2 + 2 B - C$

$4 = 2 + B + C$

$A = 2$

$- 3 = 2 + 2 B - C$

$4 = 2 + B + C$

$A = 2$

$- 3 = 2 + 2 B - C$

$4 = 2 + B + C$

$A = 2$

Passaggio 1.3.3

Risolvi per $B$ in $4 = 2 + B + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $2 + B + C = 4$ .

$2 + B + C = 4$

$- 3 = 2 + 2 B - C$

$A = 2$

Passaggio 1.3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $B$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$B + C = 4 - 2$

$- 3 = 2 + 2 B - C$

$A = 2$

Passaggio 1.3.3.2.2

Sottrai $C$ da entrambi i lati dell'equazione.

$B = 4 - 2 - C$

$- 3 = 2 + 2 B - C$

$A = 2$

Passaggio 1.3.3.2.3

Sottrai $2$ da $4$ .

$B = 2 - C$

$- 3 = 2 + 2 B - C$

$A = 2$

$B = 2 - C$

$- 3 = 2 + 2 B - C$

$A = 2$

$B = 2 - C$

$- 3 = 2 + 2 B - C$

$A = 2$

Passaggio 1.3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $2 - C$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $- 3 = 2 + 2 B - C$ con $2 - C$ .

$- 3 = 2 + 2 (2 - C) - C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Passaggio 1.3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.1

Semplifica $2 + 2 (2 - C) - C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 3 = 2 + 2 \cdot 2 + 2 (- C) - C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Passaggio 1.3.4.2.1.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- 3 = 2 + 4 + 2 (- C) - C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Passaggio 1.3.4.2.1.1.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 3 = 2 + 4 - 2 C - C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$- 3 = 2 + 4 - 2 C - C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Passaggio 1.3.4.2.1.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.1.2.1

Somma $2$ e $4$ .

$- 3 = 6 - 2 C - C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Passaggio 1.3.4.2.1.2.2

Sottrai $C$ da $- 2 C$ .

$- 3 = 6 - 3 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$- 3 = 6 - 3 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$- 3 = 6 - 3 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$- 3 = 6 - 3 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$- 3 = 6 - 3 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Passaggio 1.3.5

Risolvi per $C$ in $- 3 = 6 - 3 C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.1

Riscrivi l'equazione come $6 - 3 C = - 3$ .

$6 - 3 C = - 3$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Passaggio 1.3.5.2

Sposta tutti i termini non contenenti $C$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.2.1

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 3 C = - 3 - 6$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Passaggio 1.3.5.2.2

Sottrai $6$ da $- 3$ .

$- 3 C = - 9$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$- 3 C = - 9$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Passaggio 1.3.5.3

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 C = - 9$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.3.1

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 C = - 9$ .

$\frac{- 3 C}{- 3} = \frac{- 9}{- 3}$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Passaggio 1.3.5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 3 C}{- 3} = \frac{- 9}{- 3}$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Passaggio 1.3.5.3.2.1.2

Dividi $C$ per $1$ .

$C = \frac{- 9}{- 3}$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$C = \frac{- 9}{- 3}$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$C = \frac{- 9}{- 3}$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Passaggio 1.3.5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.3.3.1

Dividi $- 9$ per $- 3$ .

$C = 3$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$C = 3$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$C = 3$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$C = 3$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Passaggio 1.3.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ con $3$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ in $B = 2 - C$ con $3$ .

$B = 2 - (3)$

$C = 3$

$A = 2$

Passaggio 1.3.6.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.2.1

Semplifica $2 - (3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$B = 2 - 3$

$C = 3$

$A = 2$

Passaggio 1.3.6.2.1.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$B = - 1$

$C = 3$

$A = 2$

$B = - 1$

$C = 3$

$A = 2$

$B = - 1$

$C = 3$

$A = 2$

$B = - 1$

$C = 3$

$A = 2$

Passaggio 1.3.7

Elenca tutte le soluzioni.

$B = - 1, C = 3, A = 2$

Passaggio 1.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1} + \frac{C}{x + 2}$ con i valori trovati per $A$ , $B$ e $C$ .

$\frac{2}{x} + \frac{- 1}{x - 1} + \frac{3}{x + 2}$

Passaggio 1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int \frac{2}{x} - \frac{1}{x - 1} + \frac{3}{x + 2} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{2}{x} d x + \int - \frac{1}{x - 1} d x + \int \frac{3}{x + 2} d x$

Passaggio 3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{1}{x - 1} d x + \int \frac{3}{x + 2} d x$

Passaggio 4

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$2 (\ln (| x |) + C) + \int - \frac{1}{x - 1} d x + \int \frac{3}{x + 2} d x$

Passaggio 5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$2 (\ln (| x |) + C) - \int \frac{1}{x - 1} d x + \int \frac{3}{x + 2} d x$

Passaggio 6

Sia $u_{1} = x - 1$ . Allora $d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sia $u_{1} = x - 1$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Differenzia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 6.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 6.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 6.1.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 6.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 6.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$2 (\ln (| x |) + C) - \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{3}{x + 2} d x$

Passaggio 7

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$2 (\ln (| x |) + C) - (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{3}{x + 2} d x$

Passaggio 8

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$2 (\ln (| x |) + C) - (\ln (| u_{1} |) + C) + 3 \int \frac{1}{x + 2} d x$

Passaggio 9

Sia $u_{2} = x + 2$ . Allora $d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sia $u_{2} = x + 2$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Differenzia $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Passaggio 9.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 9.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 9.1.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 9.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 9.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$2 (\ln (| x |) + C) - (\ln (| u_{1} |) + C) + 3 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 10

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$2 (\ln (| x |) + C) - (\ln (| u_{1} |) + C) + 3 (\ln (| u_{2} |) + C)$

Passaggio 11

Semplifica.

$2 \ln (| x |) - \ln (| u_{1} |) + 3 \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 12

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 12.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x - 1$ .

$2 \ln (| x |) - \ln (| x - 1 |) + 3 \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 12.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x + 2$ .

$2 \ln (| x |) - \ln (| x - 1 |) + 3 \ln (| x + 2 |) + C$