Calcolo Esempi

$\int \frac{3 x - 3}{{(x - 2 x + 1)}^{2}} d x$

Passaggio 1

Sottrai $2 x$ da $x$ .

$\int \frac{3 x - 3}{{(- x + 1)}^{2}} d x$

Passaggio 2

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

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Passaggio 2.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

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Passaggio 2.1.1

Scomponi $3$ da $3 x - 3$ .

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Passaggio 2.1.1.1

Scomponi $3$ da $3 x$ .

$\frac{3 (x) - 3}{{(- x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.2

Scomponi $3$ da $- 3$ .

$\frac{3 (x) + 3 (- 1)}{{(- x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.3

Scomponi $3$ da $3 (x) + 3 (- 1)$ .

$\frac{3 (x - 1)}{{(- x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{{(- x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3

$\frac{A}{{(- x + 1)}^{2}} + \frac{B}{- x + 1}$

Passaggio 2.1.4

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è ${(- x + 1)}^{2}$ .

$\frac{3 (x - 1) {(- x + 1)}^{2}}{{(- x + 1)}^{2}} = \frac{(A) {(- x + 1)}^{2}}{{(- x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(- x + 1)}^{2}}{- x + 1}$

Passaggio 2.1.5

Elimina il fattore comune di ${(- x + 1)}^{2}$ .

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Passaggio 2.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (x - 1) {(- x + 1)}^{2}}{{(- x + 1)}^{2}} = \frac{(A) {(- x + 1)}^{2}}{{(- x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(- x + 1)}^{2}}{- x + 1}$

Passaggio 2.1.5.2

Dividi $3 (x - 1)$ per $1$ .

$3 (x - 1) = \frac{(A) {(- x + 1)}^{2}}{{(- x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(- x + 1)}^{2}}{- x + 1}$

Passaggio 2.1.6

Applica la proprietà distributiva.

$3 x + 3 \cdot - 1 = \frac{(A) {(- x + 1)}^{2}}{{(- x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(- x + 1)}^{2}}{- x + 1}$

Passaggio 2.1.7

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$3 x - 3 = \frac{(A) {(- x + 1)}^{2}}{{(- x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(- x + 1)}^{2}}{- x + 1}$

Passaggio 2.1.8

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.8.1

Elimina il fattore comune di ${(- x + 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.8.1.1

Elimina il fattore comune.

$3 x - 3 = \frac{A {(- x + 1)}^{2}}{{(- x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(- x + 1)}^{2}}{- x + 1}$

Passaggio 2.1.8.1.2

Dividi $A$ per $1$ .

$3 x - 3 = A + \frac{(B) {(- x + 1)}^{2}}{- x + 1}$

Passaggio 2.1.8.2

Elimina il fattore comune di ${(- x + 1)}^{2}$ e $- x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.8.2.1

Scomponi $- x + 1$ da $(B) {(- x + 1)}^{2}$ .

$3 x - 3 = A + \frac{(- x + 1) (B (- x + 1))}{- x + 1}$

Passaggio 2.1.8.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.8.2.2.1

Moltiplica per $1$ .

$3 x - 3 = A + \frac{(- x + 1) (B (- x + 1))}{(- x + 1) \cdot 1}$

Passaggio 2.1.8.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$3 x - 3 = A + \frac{(- x + 1) (B (- x + 1))}{(- x + 1) \cdot 1}$

Passaggio 2.1.8.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$3 x - 3 = A + \frac{B (- x + 1)}{1}$

Passaggio 2.1.8.2.2.4

Dividi $B (- x + 1)$ per $1$ .

$3 x - 3 = A + B (- x + 1)$

Passaggio 2.1.8.3

Applica la proprietà distributiva.

$3 x - 3 = A + B (- x) + B \cdot 1$

Passaggio 2.1.8.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$3 x - 3 = A - B x + B \cdot 1$

Passaggio 2.1.8.5

Moltiplica $B$ per $1$ .

$3 x - 3 = A - B x + B$

Passaggio 2.1.9

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.9.1

Sposta $B$ .

$3 x - 3 = A - x B + B$

Passaggio 2.1.9.2

Riordina $A$ e $- x B$ .

$3 x - 3 = - x B + A + B$

Passaggio 2.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

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Passaggio 2.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$3 = - 1 B$

Passaggio 2.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$- 3 = A + B$

Passaggio 2.2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$3 = - 1 B$

$- 3 = A + B$

$3 = - 1 B$

$- 3 = A + B$

Passaggio 2.3

Risolvi il sistema di equazioni.

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Passaggio 2.3.1

Risolvi per $B$ in $3 = - 1 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi l'equazione come $- 1 B = 3$ .

$- 1 B = 3$

$- 3 = A + B$

Passaggio 2.3.1.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- 1 B = 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- 1 B = 3$ .

$\frac{- 1 B}{- 1} = \frac{3}{- 1}$

$- 3 = A + B$

Passaggio 2.3.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.3.1.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{B}{1} = \frac{3}{- 1}$

$- 3 = A + B$

Passaggio 2.3.1.2.2.2

Dividi $B$ per $1$ .

$B = \frac{3}{- 1}$

$- 3 = A + B$

$B = \frac{3}{- 1}$

$- 3 = A + B$

Passaggio 2.3.1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.3.1

Dividi $3$ per $- 1$ .

$B = - 3$

$- 3 = A + B$

$B = - 3$

$- 3 = A + B$

$B = - 3$

$- 3 = A + B$

$B = - 3$

$- 3 = A + B$

Passaggio 2.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $- 3$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $- 3 = A + B$ con $- 3$ .

$- 3 = A - 3$

$B = - 3$

Passaggio 2.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$- 3 = A - 3$

$B = - 3$

$- 3 = A - 3$

$B = - 3$

$- 3 = A - 3$

$B = - 3$

Passaggio 2.3.3

Risolvi per $A$ in $- 3 = A - 3$ .

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Passaggio 2.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $A - 3 = - 3$ .

$A - 3 = - 3$

$B = - 3$

Passaggio 2.3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $A$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 2.3.3.2.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$A = - 3 + 3$

$B = - 3$

Passaggio 2.3.3.2.2

Somma $- 3$ e $3$ .

$A = 0$

$B = - 3$

$A = 0$

$B = - 3$

$A = 0$

$B = - 3$

Passaggio 2.3.4

Risolvi il sistema di equazioni.

$A = 0 B = - 3$

Passaggio 2.3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$A = 0, B = - 3$

Passaggio 2.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{{(- x + 1)}^{2}} + \frac{B}{- x + 1}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$\frac{0}{{(- x + 1)}^{2}} + \frac{- 3}{- x + 1}$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Dividi $0$ per ${(- x + 1)}^{2}$ .

$0 + \frac{- 3}{- x + 1}$

Passaggio 2.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$0 - \frac{3}{- x + 1}$

Passaggio 2.5.3

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$0 - \frac{3}{- (x) + 1}$

Passaggio 2.5.4

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$0 - \frac{3}{- (x) - 1 \cdot - 1}$

Passaggio 2.5.5

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (- 1)$ .

$0 - \frac{3}{- (x - 1)}$

Passaggio 2.5.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.6.1

Riscrivi $- (x - 1)$ come $- 1 (x - 1)$ .

$0 - \frac{3}{- 1 (x - 1)}$

Passaggio 2.5.6.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$0 + \frac{3}{x - 1}$

Passaggio 2.5.6.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$0 + 1 (\frac{3}{x - 1})$

Passaggio 2.5.6.4

Moltiplica $\frac{3}{x - 1}$ per $1$ .

$0 + \frac{3}{x - 1}$

Passaggio 2.5.7

Rimuovi lo zero dall'espressione.

$\int \frac{3}{x - 1} d x$

Passaggio 3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$3 \int \frac{1}{x - 1} d x$

Passaggio 4

Sia $u = x - 1$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 4.1

Sia $u = x - 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 4.1.1

Differenzia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 4.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 4.1.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 4.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$3 \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 5

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$3 (\ln (| u |) + C)$

Passaggio 6

Semplifica.

$3 \ln (| u |) + C$

Passaggio 7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 1$ .

$3 \ln (| x - 1 |) + C$