Calcolo Esempi

$\int \frac{3 t - 2}{t + 1} d t$

Passaggio 1

Dividi $3 t - 2$ per $t + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$t$

$1$

$3 t$

$2$

Passaggio 1.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $3 t$ per il termine di ordine più alto nel divisore $t$ .

					$3$
	$t$	+	$1$		$3 t$	-	$2$

Passaggio 1.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$3$
$t$	+	$1$		$3 t$	-	$2$
			+	$3 t$	+	$3$

Passaggio 1.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $3 t + 3$

				$3$
$t$	+	$1$		$3 t$	-	$2$
			-	$3 t$	-	$3$

Passaggio 1.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$3$
$t$	+	$1$		$3 t$	-	$2$
			-	$3 t$	-	$3$
					-	$5$

Passaggio 1.6

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\int 3 - \frac{5}{t + 1} d t$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int 3 d t + \int - \frac{5}{t + 1} d t$

Passaggio 3

Applica la regola costante.

$3 t + C + \int - \frac{5}{t + 1} d t$

Passaggio 4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$3 t + C - \int \frac{5}{t + 1} d t$

Passaggio 5

Poiché $5$ è costante rispetto a $t$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$3 t + C - (5 \int \frac{1}{t + 1} d t)$

Passaggio 6

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$3 t + C - 5 \int \frac{1}{t + 1} d t$

Passaggio 7

Sia $u = t + 1$ . Allora $d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sia $u = t + 1$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Differenzia $t + 1$ .

$\frac{d}{d t} [t + 1]$

Passaggio 7.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $t + 1$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$

Passaggio 7.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [1]$

Passaggio 7.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 7.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 7.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$3 t + C - 5 \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 8

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$3 t + C - 5 (\ln (| u |) + C)$

Passaggio 9

Semplifica.

$3 t - 5 \ln (| u |) + C$

Passaggio 10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $t + 1$ .

$3 t - 5 \ln (| t + 1 |) + C$