Calcolo Esempi

$\int \frac{300}{{(3 x + 25)}^{2}} d x$

Passaggio 1

Poiché $300$ è costante rispetto a $x$ , sposta $300$ fuori dall'integrale.

$300 \int \frac{1}{{(3 x + 25)}^{2}} d x$

Passaggio 2

Sia $u = 3 x + 25$ . Allora $d u = 3 d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = 3 x + 25$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $3 x + 25$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 25]$

Passaggio 2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x + 25$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [25]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Passaggio 2.1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25]$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [25]$

Passaggio 2.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 2.1.4.1

Poiché $25$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $25$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 + 0$

Passaggio 2.1.4.2

Somma $3$ e $0$ .

$3$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$300 \int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Moltiplica $\frac{1}{u^{2}}$ per $\frac{1}{3}$ .

$300 \int \frac{1}{u^{2} \cdot 3} d u$

Passaggio 3.2

Sposta $3$ alla sinistra di $u^{2}$ .

$300 \int \frac{1}{3 u^{2}} d u$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$300 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{2}} d u)$

Passaggio 5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.1

Semplifica.

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Passaggio 5.1.1

$\frac{1}{3}$ e $300$ .

$\frac{300}{3} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Passaggio 5.1.2

Elimina il fattore comune di $300$ e $3$ .

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Passaggio 5.1.2.1

Scomponi $3$ da $300$ .

$\frac{3 \cdot 100}{3} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Passaggio 5.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{3 \cdot 100}{3 (1)} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Passaggio 5.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot 100}{3 \cdot 1} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Passaggio 5.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{100}{1} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Passaggio 5.1.2.2.4

Dividi $100$ per $1$ .

$100 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Passaggio 5.2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 5.2.1

Sposta $u^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$100 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 5.2.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$100 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Passaggio 5.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$100 \int u^{- 2} d u$

Passaggio 6

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{- 2}$ rispetto a $u$ è $- u^{- 1}$ .

$100 (- u^{- 1} + C)$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Riscrivi $100 (- u^{- 1} + C)$ come $100 (- \frac{1}{u}) + C$ .

$100 (- \frac{1}{u}) + C$

Passaggio 7.2

Semplifica.

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Passaggio 7.2.1

Moltiplica $- 1$ per $100$ .

$- 100 \frac{1}{u} + C$

Passaggio 7.2.2

$- 100$ e $\frac{1}{u}$ .

$\frac{- 100}{u} + C$

Passaggio 7.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{100}{u} + C$

Passaggio 8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x + 25$ .

$- \frac{100}{3 x + 25} + C$