Calcolo Esempi

$\int \frac{2 x}{\sqrt{16 - 9 x^{2}}} d x$

Passaggio 1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int \frac{x}{\sqrt{16 - 9 x^{2}}} d x$

Passaggio 2

Sia $u = 16 - 9 x^{2}$ . Allora $d u = - 18 x d x$ , quindi $- \frac{1}{18} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = 16 - 9 x^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $16 - 9 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [16 - 9 x^{2}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia.

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Passaggio 2.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $16 - 9 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Passaggio 2.1.2.2

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

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Passaggio 2.1.3.1

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 - 9 (2 x)$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 9$ .

$0 - 18 x$

Passaggio 2.1.4

Sottrai $18 x$ da $0$ .

$- 18 x$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$2 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 18} d u$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 \int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{18}) d u$

Passaggio 3.2

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{u}}$ per $\frac{1}{18}$ .

$2 \int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 18} d u$

Passaggio 3.3

Sposta $18$ alla sinistra di $\sqrt{u}$ .

$2 \int - \frac{1}{18 \sqrt{u}} d u$

Passaggio 4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$2 (- \int \frac{1}{18 \sqrt{u}} d u)$

Passaggio 5

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 \int \frac{1}{18 \sqrt{u}} d u$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{18}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{18}$ fuori dall'integrale.

$- 2 (\frac{1}{18} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Passaggio 7

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 7.1

Semplifica.

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Passaggio 7.1.1

$\frac{1}{18}$ e $- 2$ .

$\frac{- 2}{18} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 7.1.2

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $18$ .

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Passaggio 7.1.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{18} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 7.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 7.1.2.2.1

Scomponi $2$ da $18$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 9} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 7.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 9} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 7.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{9} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 7.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{9} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 7.2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 7.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{9} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Passaggio 7.2.2

Sposta $u^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$- \frac{1}{9} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Passaggio 7.2.3

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 7.2.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{9} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Passaggio 7.2.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$- \frac{1}{9} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Passaggio 7.2.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{9} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 8

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{9} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Riscrivi $- \frac{1}{9} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ come $- \frac{1}{9} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$- \frac{1}{9} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 9.2

Semplifica.

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Passaggio 9.2.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 (\frac{1}{9}) u^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 9.2.2

$- 2$ e $\frac{1}{9}$ .

$\frac{- 2}{9} u^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 9.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{9} u^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $16 - 9 x^{2}$ .

$- \frac{2}{9} {(16 - 9 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$