Calcolo Esempi

$\int \frac{24 x^{3} + 20 x}{3 x^{4} + 5 x^{2}} d x$

Passaggio 1

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

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Passaggio 1.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Scomponi la frazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Scomponi $4 x$ da $24 x^{3} + 20 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1.1

Scomponi $4 x$ da $24 x^{3}$ .

$\frac{4 x (6 x^{2}) + 20 x}{3 x^{4} + 5 x^{2}}$

Passaggio 1.1.1.1.2

Scomponi $4 x$ da $20 x$ .

$\frac{4 x (6 x^{2}) + 4 x (5)}{3 x^{4} + 5 x^{2}}$

Passaggio 1.1.1.1.3

Scomponi $4 x$ da $4 x (6 x^{2}) + 4 x (5)$ .

$\frac{4 x (6 x^{2} + 5)}{3 x^{4} + 5 x^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2

Scomponi $x^{2}$ da $3 x^{4} + 5 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Scomponi $x^{2}$ da $3 x^{4}$ .

$\frac{4 x (6 x^{2} + 5)}{x^{2} (3 x^{2}) + 5 x^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.2

Scomponi $x^{2}$ da $5 x^{2}$ .

$\frac{4 x (6 x^{2} + 5)}{x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} \cdot 5}$

Passaggio 1.1.1.2.3

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} \cdot 5$ .

$\frac{4 x (6 x^{2} + 5)}{x^{2} (3 x^{2} + 5)}$

Passaggio 1.1.1.3

Riduci l'espressione $\frac{4 x (6 x^{2} + 5)}{x^{2} (3 x^{2} + 5)}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Scomponi $x$ da $4 x (6 x^{2} + 5)$ .

$\frac{x (4 (6 x^{2} + 5))}{x^{2} (3 x^{2} + 5)}$

Passaggio 1.1.1.3.2

Scomponi $x$ da $x^{2} (3 x^{2} + 5)$ .

$\frac{x (4 (6 x^{2} + 5))}{x (x (3 x^{2} + 5))}$

Passaggio 1.1.1.3.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (4 (6 x^{2} + 5))}{x (x (3 x^{2} + 5))}$

Passaggio 1.1.1.3.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 (6 x^{2} + 5)}{x (3 x^{2} + 5)}$

Passaggio 1.1.2

Per ogni fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore è di 2° ordine, sono necessari $2$ termini nel numeratore. Il numero di termini richiesti nel numeratore è sempre uguale all'ordine del fattore nel denominatore.

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{3 x^{2} + 5}$

Passaggio 1.1.3

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $x (3 x^{2} + 5)$ .

$\frac{4 (6 x^{2} + 5) (x (3 x^{2} + 5))}{x (3 x^{2} + 5)} = \frac{A (x (3 x^{2} + 5))}{x} + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

Passaggio 1.1.4

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 1.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 (6 x^{2} + 5) (x (3 x^{2} + 5))}{x (3 x^{2} + 5)} = \frac{A (x (3 x^{2} + 5))}{x} + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

Passaggio 1.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 (6 x^{2} + 5) (3 x^{2} + 5)}{3 x^{2} + 5} = \frac{A (x (3 x^{2} + 5))}{x} + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

Passaggio 1.1.5

Elimina il fattore comune di $3 x^{2} + 5$ .

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Passaggio 1.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 (6 x^{2} + 5) (3 x^{2} + 5)}{3 x^{2} + 5} = \frac{A (x (3 x^{2} + 5))}{x} + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

Passaggio 1.1.5.2

Dividi $4 (6 x^{2} + 5)$ per $1$ .

$4 (6 x^{2} + 5) = \frac{A (x (3 x^{2} + 5))}{x} + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

Passaggio 1.1.6

Applica la proprietà distributiva.

$4 (6 x^{2}) + 4 \cdot 5 = \frac{A (x (3 x^{2} + 5))}{x} + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

Passaggio 1.1.7

Moltiplica.

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Passaggio 1.1.7.1

Moltiplica $6$ per $4$ .

$24 x^{2} + 4 \cdot 5 = \frac{A (x (3 x^{2} + 5))}{x} + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

Passaggio 1.1.7.2

Moltiplica $4$ per $5$ .

$24 x^{2} + 20 = \frac{A (x (3 x^{2} + 5))}{x} + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

Passaggio 1.1.8

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1.8.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 1.1.8.1.1

Elimina il fattore comune.

$24 x^{2} + 20 = \frac{A (x (3 x^{2} + 5))}{x} + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

Passaggio 1.1.8.1.2

Dividi $A (3 x^{2} + 5)$ per $1$ .

$24 x^{2} + 20 = A (3 x^{2} + 5) + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

Passaggio 1.1.8.2

Applica la proprietà distributiva.

$24 x^{2} + 20 = A (3 x^{2}) + A \cdot 5 + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

Passaggio 1.1.8.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$24 x^{2} + 20 = 3 A x^{2} + A \cdot 5 + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

Passaggio 1.1.8.4

Sposta $5$ alla sinistra di $A$ .

$24 x^{2} + 20 = 3 A x^{2} + 5 \cdot A + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

Passaggio 1.1.8.5

Elimina il fattore comune di $3 x^{2} + 5$ .

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Passaggio 1.1.8.5.1

Elimina il fattore comune.

$24 x^{2} + 20 = 3 A x^{2} + 5 A + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

Passaggio 1.1.8.5.2

Dividi $(B x + C) (x)$ per $1$ .

$24 x^{2} + 20 = 3 A x^{2} + 5 A + (B x + C) (x)$

Passaggio 1.1.8.6

Applica la proprietà distributiva.

$24 x^{2} + 20 = 3 A x^{2} + 5 A + B x \cdot x + C x$

Passaggio 1.1.8.7

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.1.8.7.1

Sposta $x$ .

$24 x^{2} + 20 = 3 A x^{2} + 5 A + B (x \cdot x) + C x$

Passaggio 1.1.8.7.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$24 x^{2} + 20 = 3 A x^{2} + 5 A + B x^{2} + C x$

Passaggio 1.1.9

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.1

Sposta $A$ .

$24 x^{2} + 20 = 3 x^{2} A + 5 A + B x^{2} + C x$

Passaggio 1.1.9.2

Riordina $B$ e $x^{2}$ .

$24 x^{2} + 20 = 3 x^{2} A + 5 A + B x^{2} + C x$

Passaggio 1.1.9.3

Sposta $5 A$ .

$24 x^{2} + 20 = 3 x^{2} A + B x^{2} + C x + 5 A$

Passaggio 1.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x^{2}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$24 = 3 A + B$

Passaggio 1.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = C$

Passaggio 1.2.3

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$20 = 5 A$

Passaggio 1.2.4

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$24 = 3 A + B$

$0 = C$

$20 = 5 A$

$24 = 3 A + B$

$0 = C$

$20 = 5 A$

Passaggio 1.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Riscrivi l'equazione come $C = 0$ .

$C = 0$

$24 = 3 A + B$

$20 = 5 A$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ con $0$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Riscrivi l'equazione come $5 A = 20$ .

$5 A = 20$

$C = 0$

$24 = 3 A + B$

Passaggio 1.3.2.2

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 A = 20$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 A = 20$ .

$\frac{5 A}{5} = \frac{20}{5}$

$C = 0$

$24 = 3 A + B$

Passaggio 1.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 A}{5} = \frac{20}{5}$

$C = 0$

$24 = 3 A + B$

Passaggio 1.3.2.2.2.1.2

Dividi $A$ per $1$ .

$A = \frac{20}{5}$

$C = 0$

$24 = 3 A + B$

$A = \frac{20}{5}$

$C = 0$

$24 = 3 A + B$

$A = \frac{20}{5}$

$C = 0$

$24 = 3 A + B$

Passaggio 1.3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.3.1

Dividi $20$ per $5$ .

$A = 4$

$C = 0$

$24 = 3 A + B$

$A = 4$

$C = 0$

$24 = 3 A + B$

$A = 4$

$C = 0$

$24 = 3 A + B$

$A = 4$

$C = 0$

$24 = 3 A + B$

Passaggio 1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $4$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $24 = 3 A + B$ con $4$ .

$24 = 3 (4) + B$

$A = 4$

$C = 0$

Passaggio 1.3.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.1

Moltiplica $3$ per $4$ .

$24 = 12 + B$

$A = 4$

$C = 0$

$24 = 12 + B$

$A = 4$

$C = 0$

$24 = 12 + B$

$A = 4$

$C = 0$

Passaggio 1.3.4

Risolvi per $B$ in $24 = 12 + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Riscrivi l'equazione come $12 + B = 24$ .

$12 + B = 24$

$A = 4$

$C = 0$

Passaggio 1.3.4.2

Sposta tutti i termini non contenenti $B$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.1

Sottrai $12$ da entrambi i lati dell'equazione.

$B = 24 - 12$

$A = 4$

$C = 0$

Passaggio 1.3.4.2.2

Sottrai $12$ da $24$ .

$B = 12$

$A = 4$

$C = 0$

$B = 12$

$A = 4$

$C = 0$

$B = 12$

$A = 4$

$C = 0$

Passaggio 1.3.5

Risolvi il sistema di equazioni.

$B = 12 A = 4 C = 0$

Passaggio 1.3.6

Elenca tutte le soluzioni.

$B = 12, A = 4, C = 0$

Passaggio 1.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{3 x^{2} + 5}$ con i valori trovati per $A$ , $B$ e $C$ .

$\frac{4}{x} + \frac{12 x + 0}{3 x^{2} + 5}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Rimuovi le parentesi.

$\frac{4}{x} + \frac{(12) \cdot x + 0}{3 x^{2} + 5}$

Passaggio 1.5.2

Somma $12 x$ e $0$ .

$\int \frac{4}{x} + \frac{12 x}{3 x^{2} + 5} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{4}{x} d x + \int \frac{12 x}{3 x^{2} + 5} d x$

Passaggio 3

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$4 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{12 x}{3 x^{2} + 5} d x$

Passaggio 4

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$4 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{12 x}{3 x^{2} + 5} d x$

Passaggio 5

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , sposta $12$ fuori dall'integrale.

$4 (\ln (| x |) + C) + 12 \int \frac{x}{3 x^{2} + 5} d x$

Passaggio 6

Sia $u = 3 x^{2} + 5$ . Allora $d u = 6 x d x$ , quindi $\frac{1}{6} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sia $u = 3 x^{2} + 5$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Differenzia $3 x^{2} + 5$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5]$

Passaggio 6.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 6.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 6.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 6.1.3.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 6.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.4.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$6 x + 0$

Passaggio 6.1.4.2

Somma $6 x$ e $0$ .

$6 x$

Passaggio 6.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$4 (\ln (| x |) + C) + 12 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{6} d u$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{6}$ .

$4 (\ln (| x |) + C) + 12 \int \frac{1}{u \cdot 6} d u$

Passaggio 7.2

Sposta $6$ alla sinistra di $u$ .

$4 (\ln (| x |) + C) + 12 \int \frac{1}{6 u} d u$

Passaggio 8

Poiché $\frac{1}{6}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{6}$ fuori dall'integrale.

$4 (\ln (| x |) + C) + 12 (\frac{1}{6} \int \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

$\frac{1}{6}$ e $12$ .

$4 (\ln (| x |) + C) + \frac{12}{6} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 9.2

Elimina il fattore comune di $12$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Scomponi $6$ da $12$ .

$4 (\ln (| x |) + C) + \frac{6 \cdot 2}{6} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 9.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Scomponi $6$ da $6$ .

$4 (\ln (| x |) + C) + \frac{6 \cdot 2}{6 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 9.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$4 (\ln (| x |) + C) + \frac{6 \cdot 2}{6 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 9.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$4 (\ln (| x |) + C) + \frac{2}{1} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 9.2.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$4 (\ln (| x |) + C) + 2 \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 10

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$4 (\ln (| x |) + C) + 2 (\ln (| u |) + C)$

Passaggio 11

Semplifica.

$4 \ln (| x |) + 2 \ln (| u |) + C$

Passaggio 12

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x^{2} + 5$ .

$4 \ln (| x |) + 2 \ln (| 3 x^{2} + 5 |) + C$